Tentukan nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi

Nilai minimum fungsi adalah 4√2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai minimum dari fungsi y = 2/(cos θ) + 2/(sin θ) untuk 0 < θ < π/2, kita dapat menggunakan kalkulus dengan mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol.

Fungsi: y = 2(cos θ)^(-1) + 2(sin θ)^(-1)

Turunan pertama (dy/dθ):
Kita gunakan aturan rantai: d/dx [u^n] = n*u^(n-1) * du/dx

dy/dθ = 2 * (-1)(cos θ)^(-2) * (-sin θ) + 2 * (-1)(sin θ)^(-2) * (cos θ)

dy/dθ = 2 * (sin θ)/(cos^2 θ) - 2 * (cos θ)/(sin^2 θ)

Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari titik kritis:
2 * (sin θ)/(cos^2 θ) - 2 * (cos θ)/(sin^2 θ) = 0

(sin θ)/(cos^2 θ) = (cos θ)/(sin^2 θ)

Kalikan silang:
sin^3 θ = cos^3 θ

Bagi kedua sisi dengan cos^3 θ (karena cos θ tidak mungkin nol di interval 0 < θ < π/2):
tan^3 θ = 1

tan θ = 1

Nilai θ yang memenuhi tan θ = 1 di interval 0 < θ < π/2 adalah θ = π/4.

Sekarang kita perlu memverifikasi apakah ini adalah nilai minimum menggunakan turunan kedua atau dengan menguji nilai di sekitar θ = π/4.

Namun, karena kita diminta untuk mencari nilai minimum dan hanya ada satu titik kritis di interval tersebut, kita dapat mengasumsikan bahwa ini adalah nilai minimum. Mari kita substitusikan θ = π/4 ke dalam fungsi asli:

y = 2/(cos(π/4)) + 2/(sin(π/4))

Kita tahu bahwa cos(π/4) = √2/2 dan sin(π/4) = √2/2.

y = 2/(√2/2) + 2/(√2/2)

y = 2 * (2/√2) + 2 * (2/√2)

y = 4/√2 + 4/√2

y = 8/√2

Untuk merasionalkan penyebut:
y = (8/√2) * (√2/√2)

y = 8√2 / 2

y = 4√2

Jadi, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 4√2.