Kelas 12Kelas 11mathKalkulus Diferensial
Tentukan nilai maksimum atau nilai minimum dari fungsi
Pertanyaan
Tentukan nilai minimum dari fungsi y = 2/(cos θ) + 2/(sin θ) untuk 0 < θ < π/2.
Solusi
Verified
Nilai minimum fungsi adalah 4√2.
Pembahasan
Untuk mencari nilai minimum dari fungsi y = 2/(cos θ) + 2/(sin θ) untuk 0 < θ < π/2, kita dapat menggunakan kalkulus dengan mencari turunan pertama fungsi tersebut dan menyamakannya dengan nol. Fungsi: y = 2(cos θ)^(-1) + 2(sin θ)^(-1) Turunan pertama (dy/dθ): Kita gunakan aturan rantai: d/dx [u^n] = n*u^(n-1) * du/dx dy/dθ = 2 * (-1)(cos θ)^(-2) * (-sin θ) + 2 * (-1)(sin θ)^(-2) * (cos θ) dy/dθ = 2 * (sin θ)/(cos^2 θ) - 2 * (cos θ)/(sin^2 θ) Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari titik kritis: 2 * (sin θ)/(cos^2 θ) - 2 * (cos θ)/(sin^2 θ) = 0 (sin θ)/(cos^2 θ) = (cos θ)/(sin^2 θ) Kalikan silang: sin^3 θ = cos^3 θ Bagi kedua sisi dengan cos^3 θ (karena cos θ tidak mungkin nol di interval 0 < θ < π/2): tan^3 θ = 1 tan θ = 1 Nilai θ yang memenuhi tan θ = 1 di interval 0 < θ < π/2 adalah θ = π/4. Sekarang kita perlu memverifikasi apakah ini adalah nilai minimum menggunakan turunan kedua atau dengan menguji nilai di sekitar θ = π/4. Namun, karena kita diminta untuk mencari nilai minimum dan hanya ada satu titik kritis di interval tersebut, kita dapat mengasumsikan bahwa ini adalah nilai minimum. Mari kita substitusikan θ = π/4 ke dalam fungsi asli: y = 2/(cos(π/4)) + 2/(sin(π/4)) Kita tahu bahwa cos(π/4) = √2/2 dan sin(π/4) = √2/2. y = 2/(√2/2) + 2/(√2/2) y = 2 * (2/√2) + 2 * (2/√2) y = 4/√2 + 4/√2 y = 8/√2 Untuk merasionalkan penyebut: y = (8/√2) * (√2/√2) y = 8√2 / 2 y = 4√2 Jadi, nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 4√2.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Nilai Maksimum Dan Minimum
Section: Pencarian Nilai Ekstrem Menggunakan Turunan
Apakah jawaban ini membantu?