Tentukan nilai maksimum untuk f(x,y)=20x+30y jika (x,y)

Nilai maksimumnya adalah 90.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi objektif $f(x,y) = 20x + 30y$ yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear:
1. $x + y \\le 4$
2. $x + 3y \\le 6$
3. $x \\ge 0$
4. $y \\ge 0$

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut. Titik-titik pojok ini adalah perpotongan dari garis-garis batas sistem pertidaksamaan.

Langkah 1: Tentukan garis-garis batas.
$g1: x + y = 4$
$g2: x + 3y = 6$
$g3: x = 0$ (sumbu Y)
$g4: y = 0$ (sumbu X)

Langkah 2: Cari titik potong garis-garis batas.

Titik potong g3 dan g4 (titik asal):
$x=0, y=0$. Titik (0,0).

Titik potong g1 dan g4:
$x+y=4$ dan $y=0$. Substitusi $y=0$ ke g1: $x+0=4 
Rightarrow x=4$. Titik (4,0).

Titik potong g2 dan g3:
$x+3y=6$ dan $x=0$. Substitusi $x=0$ ke g2: $0+3y=6 
Rightarrow y=2$. Titik (0,2).

Titik potong g1 dan g2:
$x + y = 4 
Rightarrow x = 4 - y$
Substitusi ke g2: $(4 - y) + 3y = 6$
$4 + 2y = 6$
$2y = 2$
$y = 1$
Sekarang cari x: $x = 4 - y = 4 - 1 = 3$. Titik (3,1).

Langkah 3: Uji titik-titik pojok ke dalam fungsi objektif $f(x,y) = 20x + 30y$.
Titik (0,0): $f(0,0) = 20(0) + 30(0) = 0$
Titik (4,0): $f(4,0) = 20(4) + 30(0) = 80$
Titik (0,2): $f(0,2) = 20(0) + 30(2) = 60$
Titik (3,1): $f(3,1) = 20(3) + 30(1) = 60 + 30 = 90$

Langkah 4: Tentukan nilai maksimum.
Nilai maksimum dari $f(x,y)$ adalah nilai terbesar dari hasil pengujian titik-titik pojok, yaitu 90.

Jadi, nilai maksimum untuk $f(x,y)=20x+30y$ adalah 90, yang dicapai pada titik (3,1).