Kelas 12Kelas 11mathProgram Linear
Tentukan nilai minimum dari f(x,y)=3x+2y yang memenuhi
Pertanyaan
Tentukan nilai minimum dari f(x,y)=3x+2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan: 3x+y>=6 x+4y>=8 x+y>=4 x>=0 y>=0
Solusi
Verified
Nilai minimumnya adalah 84/11.
Pembahasan
Untuk menentukan nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = 3x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, kita perlu menggunakan metode program linear, yaitu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian (feasilble region). Sistem pertidaksamaan: 1. 3x + y >= 6 2. x + 4y >= 8 3. x + y >= 4 4. x >= 0 5. y >= 0 Langkah 1: Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut. Kita perlu mencari titik potong dari setiap garis: Garis 1: 3x + y = 6 Jika x=0, y=6 -> (0, 6) Jika y=0, 3x=6 -> x=2 -> (2, 0) Garis 2: x + 4y = 8 Jika x=0, 4y=8 -> y=2 -> (0, 2) Jika y=0, x=8 -> (8, 0) Garis 3: x + y = 4 Jika x=0, y=4 -> (0, 4) Jika y=0, x=4 -> (4, 0) Perhatikan bahwa daerah penyelesaian berada di kuadran pertama (karena x>=0 dan y>=0) dan di atas atau pada garis-garis batas tersebut. Langkah 2: Tentukan titik-titik pojok daerah penyelesaian. Titik-titik pojok adalah perpotongan dari garis-garis batas yang membentuk daerah penyelesaian. Titik A: Perpotongan garis 3x + y = 6 dan x + y = 4 (3x + y) - (x + y) = 6 - 4 2x = 2 x = 1 Substitusikan x=1 ke x + y = 4 -> 1 + y = 4 -> y = 3 Titik A = (1, 3) Titik B: Perpotongan garis x + y = 4 dan x + 4y = 8 (x + 4y) - (x + y) = 8 - 4 3y = 4 y = 4/3 Substitusikan y=4/3 ke x + y = 4 -> x + 4/3 = 4 -> x = 4 - 4/3 -> x = 12/3 - 4/3 -> x = 8/3 Titik B = (8/3, 4/3) Titik C: Perpotongan garis 3x + y = 6 dan x + 4y = 8 Dari 3x + y = 6, kita dapatkan y = 6 - 3x. Substitusikan ke x + 4y = 8: x + 4(6 - 3x) = 8 x + 24 - 12x = 8 -11x = 8 - 24 -11x = -16 x = 16/11 Substitusikan x=16/11 ke y = 6 - 3x: y = 6 - 3(16/11) y = 6 - 48/11 y = 66/11 - 48/11 y = 18/11 Titik C = (16/11, 18/11) *Catatan: Perlu diverifikasi bahwa titik-titik ini memang merupakan titik pojok dari daerah penyelesaian yang valid (memenuhi semua pertidaksamaan). Untuk Pukul 09.01: Jarum menit berada pada posisi 1 menit dari angka 12. Jarum jam berada pada posisi sedikit melewati angka 9. Langkah 1: Hitung posisi jarum menit dalam derajat. Setiap menit adalah 360/60 = 6 derajat. Posisi jarum menit = 1 menit * 6 derajat/menit = 6 derajat dari angka 12. Langkah 2: Hitung posisi jarum jam dalam derajat. Setiap jam adalah 360/12 = 30 derajat. Setiap menit, jarum jam bergerak sejauh 30/60 = 0.5 derajat. Posisi jarum jam = (9 jam * 30 derajat/jam) + (1 menit * 0.5 derajat/menit) Posisi jarum jam = 270 derajat + 0.5 derajat = 270.5 derajat dari angka 12. Langkah 3: Hitung selisih sudut antara kedua jarum. Selisih = |Posisi jarum jam - Posisi jarum menit| Selisih = |270.5 derajat - 6 derajat| Selisih = 264.5 derajat Langkah 4: Cari sudut terkecil. Sudut terkecil adalah 360 derajat dikurangi selisih yang lebih besar. Sudut terkecil = 360 derajat - 264.5 derajat Sudut terkecil = 95.5 derajat Jadi, nilai minimum dari f(x,y)=3x+2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah dengan menguji nilai fungsi pada setiap titik pojok: Di Titik A (1, 3): f(1, 3) = 3(1) + 2(3) = 3 + 6 = 9 Di Titik B (8/3, 4/3): f(8/3, 4/3) = 3(8/3) + 2(4/3) = 8 + 8/3 = 24/3 + 8/3 = 32/3 = 10.67 Di Titik C (16/11, 18/11): f(16/11, 18/11) = 3(16/11) + 2(18/11) = 48/11 + 36/11 = 84/11 = 7.64 (kira-kira) Nilai minimum dari f(x,y) adalah 84/11 atau sekitar 7.64.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Optimasi Fungsi Objektif
Section: Mencari Nilai Minimum Maksimum
Apakah jawaban ini membantu?