Tentukan nilai n pada persamaan berikut.P(n, 2)=2 P(n-1,3)

Nilai n adalah 4.

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan persamaan permutasi P(n, 2) = 2 * P(n-1, 3).

Rumus permutasi P(n, k) adalah n! / (n-k)!.

Maka, persamaan dapat ditulis sebagai:
n! / (n-2)! = 2 * (n-1)! / ((n-1)-3)!

n! / (n-2)! = 2 * (n-1)! / (n-4)!

Kita bisa menyederhanakan faktorial:
n! = n * (n-1) * (n-2)!
(n-1)! = (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4)!

Substitusikan kembali ke persamaan:
[n * (n-1) * (n-2)!] / (n-2)! = 2 * [(n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4)!] / (n-4)!

Sederhanakan kedua sisi:
n * (n-1) = 2 * (n-1) * (n-2) * (n-3)

Karena n harus lebih besar atau sama dengan 2 untuk P(n, 2) dan n-1 harus lebih besar atau sama dengan 3 (yaitu n harus lebih besar atau sama dengan 4) untuk P(n-1, 3), kita bisa membagi kedua sisi dengan (n-1) (karena n-1 tidak mungkin nol).

n = 2 * (n-2) * (n-3)

n = 2 * (n^2 - 3n - 2n + 6)

n = 2 * (n^2 - 5n + 6)

n = 2n^2 - 10n + 12

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
2n^2 - 10n - n + 12 = 0

2n^2 - 11n + 12 = 0

Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan (2 * 12) = 24 dan jika dijumlahkan menghasilkan -11. Bilangan tersebut adalah -3 dan -8.

2n^2 - 8n - 3n + 12 = 0
2n(n - 4) - 3(n - 4) = 0
(2n - 3)(n - 4) = 0

Dari sini kita dapatkan dua kemungkinan nilai n:
2n - 3 = 0  =>  n = 3/2
n - 4 = 0   =>  n = 4

Karena nilai n dalam permutasi harus bilangan bulat positif dan memenuhi syarat n >= 4, maka nilai n yang memenuhi adalah 4.