Tentukan nilai optimum dari fungsi objektif yang diberikan

Nilai minimum adalah 6, nilai maksimum adalah 214/13.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai optimum dari fungsi objektif f(x, y) = 4x + 3y dengan kendala:
3x + 2y ≥ 12
x + 5y ≥ 10
x ≥ 0
y ≥ 0
Kita akan menggunakan metode garis selidik.
Langkah 1: Gambarkan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut.
   - Untuk 3x + 2y = 12, titik potong sumbu x (y=0) adalah x=4, titik potong sumbu y (x=0) adalah y=6.
   - Untuk x + 5y = 10, titik potong sumbu x (y=0) adalah x=10, titik potong sumbu y (x=0) adalah y=2.
   - Daerah penyelesaian berada di kuadran I (karena x ≥ 0, y ≥ 0) dan di atas atau pada garis-garis yang telah digambarkan.
Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut (titik pojok) dari daerah penyelesaian.
   - Titik A: Perpotongan sumbu y dengan garis x + 5y = 10, yaitu (0, 2).
   - Titik B: Perpotongan sumbu x dengan garis 3x + 2y = 12, yaitu (4, 0).
   - Titik C: Perpotongan antara garis 3x + 2y = 12 dan x + 5y = 10.
     Untuk mencari titik C, kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi.
     Kalikan persamaan kedua (x + 5y = 10) dengan 3: 3x + 15y = 30.
     Kurangkan persamaan pertama (3x + 2y = 12) dari persamaan yang baru:
     (3x + 15y) - (3x + 2y) = 30 - 12
     13y = 18
     y = 18/13
     Substitusikan y ke salah satu persamaan, misal x + 5y = 10:
     x + 5(18/13) = 10
     x + 90/13 = 10
     x = 10 - 90/13
     x = (130 - 90) / 13
     x = 40/13
     Jadi, titik C adalah (40/13, 18/13).
Langkah 3: Substitusikan koordinat titik-titik sudut ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 4x + 3y.
   - Titik A (0, 2): f(0, 2) = 4(0) + 3(2) = 0 + 6 = 6.
   - Titik B (4, 0): f(4, 0) = 4(4) + 3(0) = 16 + 0 = 16.
   - Titik C (40/13, 18/13): f(40/13, 18/13) = 4(40/13) + 3(18/13) = 160/13 + 54/13 = 214/13 ≈ 16.46.
Langkah 4: Tentukan nilai optimum (nilai terbesar atau terkecil tergantung tujuan).
Dalam kasus ini, karena kita ingin nilai optimum tanpa spesifikasi minimum atau maksimum, kita lihat nilai terbesar yang mungkin. Namun, jika yang dimaksud adalah nilai minimum, maka nilai minimumnya adalah 6.
Jika soal menghendaki nilai maksimum, nilai maksimumnya adalah 214/13 atau sekitar 16.46.
Karena konteks soal pemrograman linear biasanya mencari nilai minimum atau maksimum, dan tidak ada spesifikasi lebih lanjut, kita asumsikan mencari nilai minimum. Nilai minimum adalah 6.
Jika yang dimaksud adalah nilai maksimum, maka nilai maksimumnya adalah 214/13.