Tentukan nilai stasioner fungsi berikut dan jenisnya.b.

Nilai stasioner: 41 (maksimum) pada x=-2 dan -215 (minimum) pada x=6.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi $f(x) = x^3 - 6x^2 - 36x + 1$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Cari turunan pertama dari fungsi $f(x)$:
   $f'(x) = d/dx (x^3 - 6x^2 - 36x + 1)$
   $f'(x) = 3x^2 - 12x - 36$
2. Tentukan titik stasioner dengan menyamakan $f'(x)$ dengan 0:
   $3x^2 - 12x - 36 = 0$
   Bagi kedua sisi dengan 3:
   $x^2 - 4x - 12 = 0$
   Faktorkan persamaan kuadrat:
   $(x - 6)(x + 2) = 0$
   Jadi, titik stasionernya adalah $x = 6$ dan $x = -2$.
3. Cari turunan kedua dari fungsi $f(x)$ untuk menentukan jenis titik stasioner:
   $f''(x) = d/dx (3x^2 - 12x - 36)$
   $f''(x) = 6x - 12$
4. Substitusikan nilai $x$ dari titik stasioner ke dalam $f''(x)$:
   Untuk $x = 6$:
   $f''(6) = 6(6) - 12 = 36 - 12 = 24$
   Karena $f''(6) > 0$, maka pada $x = 6$ terdapat titik balik minimum.
   Nilai stasionernya adalah $f(6) = (6)^3 - 6(6)^2 - 36(6) + 1 = 216 - 6(36) - 216 + 1 = 216 - 216 - 216 + 1 = -215$.
   Untuk $x = -2$:
   $f''(-2) = 6(-2) - 12 = -12 - 12 = -24$
   Karena $f''(-2) < 0$, maka pada $x = -2$ terdapat titik balik maksimum.
   Nilai stasionernya adalah $f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 - 36(-2) + 1 = -8 - 6(4) + 72 + 1 = -8 - 24 + 72 + 1 = -32 + 73 = 41$.
Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah 41 (titik balik maksimum) pada $x=-2$ dan -215 (titik balik minimum) pada $x=6$.