Tentukan nilai yang memenuhi persamaan limit x mendekati

k = 1/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai yang memenuhi persamaan limit x mendekati tak hingga ((x^2+4x-2)^1/2-x+k)=5/2, kita perlu menggunakan teknik manipulasi aljabar untuk limit tak hingga.
Pertama, kita isolasi bagian akar:
lim x->∞ ((x^2+4x-2)^1/2 - x) = 5/2 - k
Sekarang, kita kalikan dengan konjugatnya:
lim x->∞ [((x^2+4x-2)^1/2 - x) * ((x^2+4x-2)^1/2 + x)] / ((x^2+4x-2)^1/2 + x) = 5/2 - k
lim x->∞ [(x^2+4x-2) - x^2] / ((x^2+4x-2)^1/2 + x) = 5/2 - k
lim x->∞ [4x-2] / ((x^2+4x-2)^1/2 + x) = 5/2 - k
Untuk menyelesaikan limit ini, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau x^2 untuk bagian dalam akar):
lim x->∞ [4 - 2/x] / (((x^2+4x-2)/x^2)^1/2 + x/x) = 5/2 - k
lim x->∞ [4 - 2/x] / ((1+4/x-2/x^2)^1/2 + 1) = 5/2 - k
Karena x mendekati tak hingga, 2/x, 4/x, dan 2/x^2 mendekati 0:
4 / (1^1/2 + 1) = 5/2 - k
4 / (1 + 1) = 5/2 - k
4 / 2 = 5/2 - k
2 = 5/2 - k
k = 5/2 - 2
k = 5/2 - 4/2
k = 1/2
Jadi, nilai yang memenuhi persamaan limit tersebut adalah k = 1/2.