Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari

Asimtot tegak: $x=1$ dan $x=2$. Asimtot datar: $y=1$ dan $y=-1$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot datar dari fungsi $f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}$, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat $x$ mendekati nilai tertentu atau tak hingga.

**1. Asimtot Tegak:**
Asimtot tegak terjadi ketika penyebut fungsi mendekati nol, sementara pembilang tidak nol. Penyebutnya adalah $\sqrt{x^2-3x+2}$. Agar terdefinisi, $x^2-3x+2 \ge 0$. Faktorkan kuadratik: $(x-1)(x-2) \ge 0$. Ini terjadi ketika $x \le 1$ atau $x \ge 2$.

Karena adanya akar kuadrat, kita perlu memastikan bahwa $x^2-3x+2$ tidak sama dengan nol agar tidak terjadi pembagian dengan nol. Jadi, $x \neq 1$ dan $x \neq 2$.

Kita perlu memeriksa limit saat $x$ mendekati 1 dari kiri (karena domainnya $x \le 1$) dan saat $x$ mendekati 2 dari kanan (karena domainnya $x \ge 2$).

*   **Limit saat $x \to 1^-$:**
    $\lim_{x\to 1^-} \frac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}$
    Pembilang $\to 1-5 = -4$.
    Penyebut $\sqrt{x^2-3x+2} \to \sqrt{0^+}=0^+$.
    Jadi, $\lim_{x\to 1^-} f(x) = \frac{-4}{0^+} = -\infty$. Oleh karena itu, $x=1$ adalah asimtot tegak.

*   **Limit saat $x 	o 2^+$:**
    $\lim_{x\to 2^+} \frac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}$
    Pembilang $\to 2-5 = -3$.
    Penyebut $\sqrt{x^2-3x+2} \to \sqrt{0^+}=0^+$.
    Jadi, $\lim_{x\to 2^+} f(x) = \frac{-3}{0^+} = -\infty$. Oleh karena itu, $x=2$ adalah asimtot tegak.

**2. Asimtot Datar:**
Asimtot datar dicari dengan menganalisis limit fungsi saat $x \to \infty$ dan $x \to -\infty$.

*   **Limit saat $x \to \infty$:**
    $\lim_{x\to \infty} \frac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}$
    Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$. Dalam akar, $x$ menjadi $x^2$.
    $\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{x}{x}-\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}} = \lim_{x\to \infty} \frac{1-\frac{5}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}}$
    Saat $x \to \infty$, $\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{3}{x} \to 0$, dan $\frac{2}{x^2} \to 0$.
    Jadi, limitnya adalah $\frac{1-0}{\sqrt{1-0+0}} = \frac{1}{1} = 1$. Oleh karena itu, $y=1$ adalah asimtot datar.

*   **Limit saat $x \to -\infty$:**
    Saat $x 	o -\infty$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$.
    $\lim_{x\to -\infty} \frac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}}$
    Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$. Dalam akar, $x$ menjadi $x^2$.
    $\lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{x}{x}-\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{2}{x^2}}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{1-\frac{5}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}}$
    Saat $x 	o -\infty$, $\frac{5}{x} \to 0$, $\frac{3}{x} \to 0$, dan $\frac{2}{x^2} \to 0$.
    Jadi, limitnya adalah $\frac{1-0}{\sqrt{1-0+0}} = \frac{1}{1} = 1$. Namun, kita perlu berhati-hati dengan $\sqrt{x^2}$ saat $x 	o -\infty$. Seharusnya kita membagi dengan $|x|$.

Mari kita ulangi limit $x 	o -\infty$ dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $|x| = -x$:
$\lim_{x\to -\infty} \frac{x-5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{\frac{x}{|x|}-\frac{5}{|x|}}{\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{|x|}}$
Karena $x 	o -\infty$, $|x| = -x$. Jadi, $\frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1$.
$\lim_{x\to -\infty} \frac{-1-\frac{5}{-x}}{\frac{\sqrt{x^2-3x+2}}{\sqrt{x^2}}} = \lim_{x\to -\infty} \frac{-1+\frac{5}{x}}{\sqrt{\frac{x^2-3x+2}{x^2}}}$
$\lim_{x\to -\infty} \frac{-1+\frac{5}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}} = \frac{-1+0}{\sqrt{1-0+0}} = \frac{-1}{1} = -1$.
Jadi, $y=-1$ adalah asimtot datar saat $x 	o -\infty$.

**Kesimpulan:**
Asimtot tegak: $x=1$ dan $x=2$.
Asimtot datar: $y=1$ (saat $x 	o \infty$) dan $y=-1$ (saat $x 	o -\infty$).