Tentukan persamaan garis singgung kurva x^3y+xy^3=10 di

Persamaan garis singgungnya adalah $14x + 13y - 40 = 0$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung kurva $x^3y + xy^3 = 10$ di titik (1,2), kita perlu mencari gradien (turunan pertama) dari kurva tersebut menggunakan diferensiasi implisit.

Persamaan kurva: $x^3y + xy^3 = 10$

Turunkan kedua sisi persamaan terhadap x:
$rac{d}{dx}(x^3y) + rac{d}{dx}(xy^3) = rac{d}{dx}(10)$

Menggunakan aturan perkalian $rac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$:
Untuk $x^3y$: u = $x^3$, v = y. Maka u' = $3x^2$, v' = $rac{dy}{dx}$.
$rac{d}{dx}(x^3y) = (3x^2)(y) + (x^3)(rac{dy}{dx}) = 3x^2y + x^3rac{dy}{dx}$

Untuk $xy^3$: u = x, v = $y^3$. Maka u' = 1, v' = $3y^2rac{dy}{dx}$.
$rac{d}{dx}(xy^3) = (1)(y^3) + (x)(3y^2rac{dy}{dx}) = y^3 + 3xy^2rac{dy}{dx}$

Turunan dari konstanta 10 adalah 0.

Jadi, persamaan setelah diturunkan menjadi:
$3x^2y + x^3rac{dy}{dx} + y^3 + 3xy^2rac{dy}{dx} = 0$

Sekarang, kita kelompokkan suku-suku yang mengandung $rac{dy}{dx}$:
$x^3rac{dy}{dx} + 3xy^2rac{dy}{dx} = -3x^2y - y^3$

Faktorkan $rac{dy}{dx}$:
$rac{dy}{dx}(x^3 + 3xy^2) = -3x^2y - y^3$

Selesaikan untuk $rac{dy}{dx}$ (gradien, m):
$rac{dy}{dx} = rac{-3x^2y - y^3}{x^3 + 3xy^2}$

Sekarang, kita perlu mencari gradien di titik (1,2). Substitusikan x=1 dan y=2 ke dalam persamaan gradien:
$m = rac{-3(1)^2(2) - (2)^3}{(1)^3 + 3(1)(2)^2}$
$m = rac{-3(1)(2) - 8}{1 + 3(1)(4)}$
$m = rac{-6 - 8}{1 + 12}$
$m = rac{-14}{13}$

Jadi, gradien garis singgung di titik (1,2) adalah $-rac{14}{13}$.

Selanjutnya, kita gunakan rumus persamaan garis lurus $y - y_1 = m(x - x_1)$, di mana $(x_1, y_1) = (1,2)$ dan $m = -rac{14}{13}$.
$y - 2 = -rac{14}{13}(x - 1)$

Kalikan kedua sisi dengan 13 untuk menghilangkan pecahan:
$13(y - 2) = -14(x - 1)$
$13y - 26 = -14x + 14$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan bentuk umum persamaan garis:
$14x + 13y - 26 - 14 = 0$
$14x + 13y - 40 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung kurva $x^3y + xy^3 = 10$ di titik (1,2) adalah $14x + 13y - 40 = 0$.