Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua

Persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran x^2+y^2-4x=0 dan x^2+y^2-4y=0 dengan pusat di garis y=x, kita dapat menggunakan metode berkas lingkaran.

Persamaan umum berkas lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran L1=0 dan L2=0 adalah L1 + k*L2 = 0, di mana k adalah konstanta.

Dalam kasus ini, L1: x^2+y^2-4x = 0 dan L2: x^2+y^2-4y = 0.
Maka, persamaan berkas lingkaran adalah:
(x^2+y^2-4x) + k(x^2+y^2-4y) = 0
(1+k)x^2 + (1+k)y^2 - 4x - 4ky = 0

Untuk mendapatkan persamaan lingkaran, kita bagi dengan (1+k) (dengan asumsi 1+k != 0):
x^2 + y^2 - (4/(1+k))x - (4k/(1+k))y = 0

Persamaan lingkaran umum adalah x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0, dengan pusat (-g, -f).
Dalam kasus ini, 2g = -4/(1+k) => g = -2/(1+k).
Dan 2f = -4k/(1+k) => f = -2k/(1+k).

Pusat lingkaran adalah (-g, -f) = (2/(1+k), 2k/(1+k)).

Diketahui bahwa pusat lingkaran berada di garis y=x. Maka, koordinat pusat harus memenuhi persamaan y=x:
2k/(1+k) = 2/(1+k)

Dengan menyamakan kedua sisi, kita dapatkan 2k = 2, sehingga k = 1.

Sekarang, kita substitusikan nilai k=1 kembali ke persamaan berkas lingkaran:
(1+1)x^2 + (1+1)y^2 - 4x - 4(1)y = 0
2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 2:
x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0

Ini adalah persamaan lingkaran yang dicari.