Tentukan persamaan lingkaran yang salah satu diameternya

Persamaan lingkaran tersebut adalah \((x+1)^2 + (y-4)^2 = 2\) atau \(x^2 + y^2 + 2x - 8y + 15 = 0\).

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang salah satu diameternya berujung di titik \(P(-2, 3)\) dan \(Q(a, 5)\) dapat ditentukan jika kita mengetahui pusat dan jari-jari lingkaran tersebut. Pusat lingkaran adalah titik tengah diameter PQ, dan jari-jari adalah setengah panjang diameter PQ.

1.  **Menentukan Pusat Lingkaran (O):**
Pusat O adalah titik tengah segmen garis PQ.
Koordinat pusat O adalah \(\left(\frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}\right)\) = \(\left(\frac{-2 + a}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right)\) = \(\left(\frac{a-2}{2}, 4\right)\).

2.  **Menentukan Gradien Diameter PQ:**
Gradien garis yang melalui P dan Q adalah \(m_{PQ} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{5 - 3}{a - (-2)} = \frac{2}{a+2}\).

3.  **Menentukan Gradien Garis yang Tegak Lurus Diameter PQ:**
Diameter PQ tegak lurus dengan garis \(x+y=2\). Gradien garis \(x+y=2\) adalah \(m_{garis} = -1\) (karena \(y = -x + 2\)).
Karena diameter PQ tegak lurus dengan garis \(x+y=2\), maka gradien diameter PQ adalah negatif kebalikan dari gradien garis tersebut.
\(m_{PQ} = -\frac{1}{m_{garis}} = -\frac{1}{-1} = 1\).

4.  **Mencari Nilai 'a':**
Kita samakan gradien PQ yang kita hitung dari koordinat titik P dan Q dengan gradien yang didapat dari syarat tegak lurus.
\(\frac{2}{a+2} = 1\)
\(2 = a+2\)
\(a = 0\).

5.  **Menentukan Titik Ujung Diameter Q:**
Karena \(a=0\), maka titik Q adalah \((0, 5)\).

6.  **Menentukan Pusat Lingkaran (O) dengan a=0:**
Pusat O = \(\left(\frac{0-2}{2}, 4\right)\) = \((-1, 4)\).

7.  **Menentukan Jari-jari Lingkaran (r):**
Jari-jari adalah jarak dari pusat O ke salah satu titik ujung diameter, misalnya P.
\(r = OP = \sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2}\)
\(r = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2}\)
\(r = \sqrt{(-2 + 1)^2 + (-1)^2}\)
\(r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}\)
\(r = \sqrt{1 + 1}\)
\(r = \sqrt{2}\).

8.  **Menentukan Persamaan Lingkaran:**
Persamaan lingkaran dengan pusat \((h, k)\) dan jari-jari \(r\) adalah \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\).
Dengan pusat \((-1, 4)\) dan \(r = \sqrt{2}\), maka \(r^2 = 2\).
Persamaan lingkarannya adalah \((x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 2\).
\((x+1)^2 + (y-4)^2 = 2\).
\(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 2\)
\(x^2 + y^2 + 2x - 8y + 17 = 2\)
\(x^2 + y^2 + 2x - 8y + 15 = 0\).