Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan

Rumus suku ke-n: $U_n = \frac{2n+1}{3n-1}$ (n ganjil), $U_n = \frac{4n-7}{5n-9}$ (n genap). Suku ke-10 = 33/41.

Pembahasan

Untuk menentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan 3/2, 1, 7/8, 9/11, 11/14, . . . ., kita perlu mengidentifikasi pola dari barisan tersebut. Barisan ini tampaknya merupakan gabungan dari dua barisan terpisah, yaitu barisan pembilang dan barisan penyebut.

**Analisis Barisan:**
Barisan: 3/2, 1/1, 7/8, 9/11, 11/14, ...

*   **Barisan Pembilang:** 3, 1, 7, 9, 11, ...
    Jika kita perhatikan, setelah suku kedua (1), pola berikutnya adalah penambahan 2: 7, 9, 11. Namun, suku pertama (3) dan kedua (1) tidak mengikuti pola ini secara langsung. Mari kita coba cari pola lain.
    Perhatikan selisih antara suku-suku yang berurutan: 1-3 = -2, 7-1 = 6, 9-7 = 2, 11-9 = 2. Pola selisihnya adalah -2, 6, 2, 2, ...
    Ada kemungkinan ini adalah barisan yang kompleks atau ada kesalahan penulisan suku.

    Mari kita asumsikan ada pola lain. Perhatikan suku ganjil dan genap secara terpisah untuk pembilang:
    Suku ganjil (ke-1, ke-3, ke-5): 3, 7, 11. Polanya adalah penambahan 4. (
    $U_{2k-1} = 3 + (k-1)4 = 4k - 1$)
    Suku genap (ke-2, ke-4): 1, 9. Polanya tidak jelas jika hanya ada dua suku.

    Mari kita coba lihat pola lain pada pembilang: 3, 1, 7, 9, 11.
    Jika kita melihat suku ke-n sebagai $U_n$, maka:
    $U_1 = 3$
    $U_2 = 1$
    $U_3 = 7$
    $U_4 = 9$
    $U_5 = 11$
    Ada kemungkinan suku ke-n adalah $2n + 1$ untuk $n 
eq 1, 2$? Tidak cocok.
    Ada kemungkinan suku ke-n adalah $2n-1$? $U_1=1, U_2=3, U_3=5, U_4=7, U_5=9$. Juga tidak cocok.

    Mari kita periksa kembali barisan pembilang: 3, 1, 7, 9, 11. Pola yang paling mungkin adalah suku ke-n pembilang adalah $2n-1$ untuk $n 
eq 1, 2$. Untuk $n=1$, pembilangnya 3. Untuk $n=2$, pembilangnya 1. Untuk $n 
eq 1, 2$, pembilangnya $2n-1$. Ini juga aneh.

    Kemungkinan lain, barisan pembilang adalah: 3, 1, (1+6), (1+6+2), (1+6+2+2)? Tidak masuk akal.

    **Mari kita fokus pada pola yang terlihat jelas:** Suku ke-3, 4, 5 pembilangnya adalah 7, 9, 11. Ini adalah barisan aritmatika dengan beda 2. Suku ke-n untuk $n 
eq 1, 2$ bisa jadi $7 + (n-3)2 = 7 + 2n - 6 = 2n + 1$.
    Jika $n=3$, $2(3)+1 = 7$.
    Jika $n=4$, $2(4)+1 = 9$.
    Jika $n=5$, $2(5)+1 = 11$.
    Ini cocok untuk $n 
eq 1, 2$.
    Bagaimana dengan $n=1$ dan $n=2$? Suku ke-1 adalah 3, suku ke-2 adalah 1.
    Jadi, rumus pembilang adalah:
    $P_n = \begin{cases} 3 & \text{jika } n=1 \\ 1 & \text{jika } n=2 \\ 2n+1 & \text{jika } n > 2 \end{cases}$ 
    Ini adalah rumus yang sangat tidak umum untuk soal seperti ini.

    **Asumsi lain:** Mungkin ada kesalahan pengetikan pada soal. Jika barisan pembilang adalah 3, 5, 7, 9, 11 (barisan aritmatika beda 2), maka rumus pembilangnya adalah $2n+1$. Jika barisan pembilang adalah 1, 3, 5, 7, 9, maka rumus pembilangnya adalah $2n-1$.

    Mari kita coba interpretasi lain pada pembilang: 3, 1, 7, 9, 11. Perhatikan suku ke-n dengan $n$ ganjil dan $n$ genap secara terpisah:
    Pembilang ganjil: 3, 7, 11 (beda 4). Rumus: $3 + (k-1)4 = 4k - 1$ untuk suku ke-(2k-1).
    Pembilang genap: 1, 9 (beda 8). Rumus: $1 + (k-1)8 = 8k - 7$ untuk suku ke-(2k).
    Mari kita cek:
    k=1: $4(1)-1 = 3$ (pembilang ke-1)
    k=1: $8(1)-7 = 1$ (pembilang ke-2)
    k=2: $4(2)-1 = 7$ (pembilang ke-3)
    k=2: $8(2)-7 = 9$ (pembilang ke-4)
    k=3: $4(3)-1 = 11$ (pembilang ke-5)
    pola ini cocok!

*   **Barisan Penyebut:** 2, 1, 8, 11, 14, ...
    Mari kita lihat pola penyebut:
    Penyebut ganjil (ke-1, ke-3, ke-5): 2, 8, 14. Polanya adalah penambahan 6. (
    $P_{2k-1} = 2 + (k-1)6 = 6k - 4$)
    Penyebut genap (ke-2, ke-4): 1, 11. Polanya tidak jelas jika hanya ada dua suku.

    Mari kita cek pola penyebut berdasarkan interpretasi barisan pembilang yang sama (suku ganjil terpisah, suku genap terpisah):
    Penyebut ganjil: 2, 8, 14 (beda 6). Rumus: $2 + (k-1)6 = 6k - 4$ untuk suku ke-(2k-1).
    Penyebut genap: 1, 11 (beda 10). Rumus: $1 + (k-1)10 = 10k - 9$ untuk suku ke-(2k).
    Mari kita cek:
    k=1: $6(1)-4 = 2$ (penyebut ke-1)
    k=1: $10(1)-9 = 1$ (penyebut ke-2)
    k=2: $6(2)-4 = 8$ (penyebut ke-3)
    k=2: $10(2)-9 = 11$ (penyebut ke-4)
    k=3: $6(3)-4 = 14$ (penyebut ke-5)
    pola ini juga cocok!

**Rumus Suku ke-n ($U_n$):**
Untuk suku ke-n, kita perlu membedakan apakah n ganjil atau genap.
Jika n ganjil, maka n = 2k - 1, sehingga k = (n+1)/2.
Jika n genap, maka n = 2k, sehingga k = n/2.

*   **Jika n ganjil (n = 2k - 1):**
    Pembilang ($P_n$) = $4k - 1 = 4((n+1)/2) - 1 = 2(n+1) - 1 = 2n + 2 - 1 = 2n + 1$
    Penyebut ($N_n$) = $6k - 4 = 6((n+1)/2) - 4 = 3(n+1) - 4 = 3n + 3 - 4 = 3n - 1$
    Jadi, jika n ganjil, $U_n = \frac{2n+1}{3n-1}$
    Cek:
    $U_1 = (2(1)+1)/(3(1)-1) = 3/2$ (Benar)
    $U_3 = (2(3)+1)/(3(3)-1) = 7/8$ (Benar)
    $U_5 = (2(5)+1)/(3(5)-1) = 11/14$ (Benar)

*   **Jika n genap (n = 2k):**
    Pembilang ($P_n$) = $8k - 7 = 8(n/2) - 7 = 4n - 7$
    Penyebut ($N_n$) = $10k - 9 = 10(n/2) - 9 = 5n - 9$
    Jadi, jika n genap, $U_n = \frac{4n-7}{5n-9}$
    Cek:
    $U_2 = (4(2)-7)/(5(2)-9) = (8-7)/(10-9) = 1/1 = 1$ (Benar)
    $U_4 = (4(4)-7)/(5(4)-9) = (16-7)/(20-9) = 9/11$ (Benar)

**Rumus Suku ke-n secara keseluruhan:**
$U_n = \begin{cases} \frac{2n+1}{3n-1} & \text{jika } n \text{ ganjil} \\ \frac{4n-7}{5n-9} & \text{jika } n \text{ genap} \end{cases}$ 

**Menghitung Suku ke-10:**
Karena 10 adalah bilangan genap, kita gunakan rumus untuk n genap:
$U_{10} = \frac{4(10)-7}{5(10)-9}$
$U_{10} = \frac{40-7}{50-9}$
$U_{10} = \frac{33}{41}$

Jadi, rumus suku ke-n adalah $U_n = \frac{2n+1}{3n-1}$ untuk n ganjil, dan $U_n = \frac{4n-7}{5n-9}$ untuk n genap. Suku ke-10 adalah 33/41.