Tentukan semua nilai x yang memenuhi persamaan cos x + cos

{π/4, 2π/3, 3π/4, 5π/4, 4π/3, 7π/4}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos x + cos 2x + cos 3x = 0 dengan 0 ≤ x ≤ 2π, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Langkah 1: Gunakan identitas penjumlahan cosinus.
Kita tahu bahwa cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2).
Terapkan ini pada cos x + cos 3x:
cos x + cos 3x = 2 cos((x+3x)/2) cos((x-3x)/2)
= 2 cos(2x) cos(-x)
Karena cos(-x) = cos x, maka:
= 2 cos(2x) cos x

Langkah 2: Substitusikan kembali ke dalam persamaan awal.
Persamaan menjadi: 2 cos(2x) cos x + cos 2x = 0

Langkah 3: Faktorkan persamaan.
Kita bisa memfaktorkan cos 2x:
cos 2x (2 cos x + 1) = 0

Langkah 4: Selesaikan untuk setiap faktor.
Ini memberikan dua kemungkinan:
Kasus 1: cos 2x = 0
Kasus 2: 2 cos x + 1 = 0  => cos x = -1/2

Langkah 5: Cari nilai x dalam rentang 0 ≤ x ≤ 2π untuk setiap kasus.

Kasus 1: cos 2x = 0
Ini terjadi ketika 2x = π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2, ...
Maka, x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Kasus 2: cos x = -1/2
Ini terjadi ketika x = 2π/3 dan x = 4π/3.

Langkah 6: Gabungkan semua solusi yang valid.
Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan cos x + cos 2x + cos 3x = 0 dengan 0 ≤ x ≤ 2π adalah: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 2π/3, dan 4π/3.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {π/4, 2π/3, 3π/4, 5π/4, 4π/3, 7π/4}.