Tentukan semua solusi bilangan bulat positif yang memenuhi

Solusi bilangan bulat positif adalah (5, 13) dan (10, 1).

Pembahasan

Untuk menentukan semua solusi bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan linear Diophantine 12x + 5y = 125:

a. Menggunakan keterbagian:
Kita bisa mencari nilai x atau y yang membuat salah satu suku habis dibagi oleh koefisien lainnya. Perhatikan persamaan 12x = 125 - 5y.
Ini berarti 12x harus habis dibagi 5 (karena 5y dan 125 habis dibagi 5), yang tidak mungkin karena 12 dan 5 koprima. Atau, kita bisa menulis ulang sebagai 5y = 125 - 12x.
Ini berarti 125 - 12x harus habis dibagi 5. Karena 125 habis dibagi 5, maka 12x harus habis dibagi 5. Karena 12 dan 5 koprima, maka x harus habis dibagi 5. 
Mari kita coba nilai x yang merupakan kelipatan 5:
Jika x = 5:
12(5) + 5y = 125
60 + 5y = 125
5y = 125 - 60
5y = 65
y = 13
(x, y) = (5, 13) adalah solusi bilangan bulat positif.

Jika x = 10:
12(10) + 5y = 125
120 + 5y = 125
5y = 125 - 120
5y = 5
y = 1
(x, y) = (10, 1) adalah solusi bilangan bulat positif.

Jika x = 15:
12(15) + 5y = 125
180 + 5y = 125
5y = 125 - 180
5y = -55
y = -11
Ini bukan solusi bilangan bulat positif karena y negatif.
Jadi, solusi bilangan bulat positif adalah (5, 13) dan (10, 1).

b. Menggunakan Teorema Diophantine:
Persamaan linear Diophantine adalah ax + by = c. Dalam kasus ini, a=12, b=5, c=125.
Langkah 1: Cari FPB dari a dan b. FPB(12, 5) = 1.
Karena FPB(12, 5) membagi 125 (1 | 125), maka persamaan ini memiliki solusi bilangan bulat.

Langkah 2: Cari satu solusi partikular (x₀, y₀). Kita bisa menggunakan Algoritma Euklides, atau seperti pada poin a, kita menemukan bahwa (x₀, y₀) = (5, 13) adalah salah satu solusi.

Langkah 3: Gunakan rumus solusi umum.
Solusi umumnya adalah:
x = x₀ + (b/FPB(a,b)) * t
y = y₀ - (a/FPB(a,b)) * t

Dengan x₀ = 5, y₀ = 13, a = 12, b = 5, dan FPB(12, 5) = 1:

x = 5 + (5/1) * t = 5 + 5t
y = 13 - (12/1) * t = 13 - 12t

Dimana t adalah bilangan bulat.

Langkah 4: Cari nilai t agar x dan y positif.
Untuk x > 0:
5 + 5t > 0
5t > -5
t > -1

Untuk y > 0:
13 - 12t > 0
13 > 12t
t < 13/12
t < 1.083...

Karena t harus bilangan bulat, maka nilai t yang memenuhi adalah t = 0 dan t = 1.

Jika t = 0:
x = 5 + 5(0) = 5
y = 13 - 12(0) = 13
Solusi: (5, 13)

Jika t = 1:
x = 5 + 5(1) = 10
y = 13 - 12(1) = 1
Solusi: (10, 1)

Jadi, semua solusi bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan 12x+5y=125 adalah (5, 13) dan (10, 1).