Tentukan titik optimum, yaitu titik yang memberikan nilai

Titik optimum minimum adalah (2, 3).

Pembahasan

Untuk menentukan titik optimum pada fungsi objektif f(x,y)=3x+y dalam daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang diberikan, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP):**
    *   Tentukan garis-garis dari pertidaksamaan:
        *   x + 2y = 8
        *   y - x = 5  atau y = x + 5
        *   x = 2
        *   x = 6
    *   Cari titik potong untuk setiap garis:
        *   Garis x + 2y = 8:
            *   Jika x=0, 2y=8, y=4. Titik (0,4)
            *   Jika y=0, x=8. Titik (8,0)
        *   Garis y = x + 5:
            *   Jika x=0, y=5. Titik (0,5)
            *   Jika y=0, x=-5. Titik (-5,0)
        *   Garis x=2 adalah garis vertikal.
        *   Garis x=6 adalah garis vertikal.
    *   Uji titik (misalnya (0,0)) untuk menentukan daerah yang diarsir:
        *   x + 2y ≥ 8: 0 + 0 ≥ 8 (Salah), jadi daerah di atas garis x + 2y = 8.
        *   y - x ≤ 5: 0 - 0 ≤ 5 (Benar), jadi daerah di bawah garis y = x + 5.
        *   2 ≤ x ≤ 6: Daerah di antara garis x=2 dan x=6.
    *   DHP adalah daerah yang memenuhi semua kondisi tersebut.

2.  **Mencari Titik-Titik Sudut DHP:**
    Titik-titik sudut DHP adalah perpotongan dari garis-garis batas:
    *   Titik A: Perpotongan x = 2 dan x + 2y = 8
        2 + 2y = 8
        2y = 6
        y = 3
        Titik A = (2, 3)
    *   Titik B: Perpotongan x = 2 dan y = x + 5
        y = 2 + 5
        y = 7
        Titik B = (2, 7)
    *   Titik C: Perpotongan x = 6 dan y = x + 5
        y = 6 + 5
        y = 11
        Titik C = (6, 11)
    *   Titik D: Perpotongan x = 6 dan x + 2y = 8
        6 + 2y = 8
        2y = 2
        y = 1
        Titik D = (6, 1)

3.  **Menghitung Nilai Fungsi Objektif f(x,y) = 3x + y di Setiap Titik Sudut:**
    *   Di Titik A (2, 3): f(2,3) = 3(2) + 3 = 6 + 3 = 9
    *   Di Titik B (2, 7): f(2,7) = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13
    *   Di Titik C (6, 11): f(6,11) = 3(6) + 11 = 18 + 11 = 29
    *   Di Titik D (6, 1): f(6,1) = 3(6) + 1 = 18 + 1 = 19

4.  **Menentukan Titik Optimum:**
    Nilai minimum dari fungsi objektif adalah nilai terkecil dari hasil perhitungan di atas.
    Nilai minimum = 9, yang terjadi di Titik A (2, 3).

Jadi, titik optimum yang memberikan nilai minimum pada fungsi objektif adalah (2, 3) dengan nilai minimum 9.