Tentukan turunan kedua, nilai stasioner, dan jenisnya dari

Turunan kedua: f''(x) = -4. Nilai stasioner: (5/4, 49/8). Jenisnya: Maksimum.

Pembahasan

Untuk menentukan turunan kedua, nilai stasioner, dan jenisnya dari fungsi f(x) = -2x^2 + 5x + 3, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

**1. Mencari Turunan Pertama (f'(x))**
Turunan dari suatu fungsi polinomial $ax^n$ adalah $n 	imes ax^{n-1}$.
Menerapkan aturan ini pada setiap suku dalam fungsi f(x):
- Turunan dari $-2x^2$ adalah $2 	imes (-2)x^{2-1} = -4x$.
- Turunan dari $5x$ adalah $1 	imes 5x^{1-1} = 5x^0 = 5$.
- Turunan dari konstanta $3$ adalah $0$.

Maka, turunan pertama dari f(x) adalah:
f'(x) = -4x + 5

**2. Mencari Turunan Kedua (f''(x))**
Sekarang kita turunkan f'(x) untuk mendapatkan turunan kedua:
- Turunan dari $-4x$ adalah $1 	imes (-4)x^{1-1} = -4x^0 = -4$.
- Turunan dari konstanta $5$ adalah $0$.

Maka, turunan kedua dari f(x) adalah:
f''(x) = -4

**3. Mencari Nilai Stasioner**
Nilai stasioner terjadi ketika turunan pertama sama dengan nol (f'(x) = 0).
Atur f'(x) = 0:
-4x + 5 = 0
-4x = -5
x = -5 / -4
x = 5/4

Untuk menemukan nilai stasioner (nilai y), substitusikan nilai x = 5/4 kembali ke fungsi asli f(x):
f(5/4) = -2(5/4)^2 + 5(5/4) + 3
f(5/4) = -2(25/16) + 25/4 + 3
f(5/4) = -50/16 + 25/4 + 3
Sederhanakan -50/16 menjadi -25/8:
f(5/4) = -25/8 + 25/4 + 3
Samakan penyebutnya menjadi 8:
f(5/4) = -25/8 + (25*2)/8 + (3*8)/8
f(5/4) = -25/8 + 50/8 + 24/8
f(5/4) = (-25 + 50 + 24) / 8
f(5/4) = 49/8

Jadi, titik stasionernya adalah (5/4, 49/8).

**4. Menentukan Jenis Nilai Stasioner**
Kita gunakan turunan kedua (f''(x)) untuk menentukan jenis nilai stasioner:
- Jika f''(x) < 0, maka titik tersebut adalah maksimum.
- Jika f''(x) > 0, maka titik tersebut adalah minimum.
- Jika f''(x) = 0, maka uji turunan kedua tidak dapat menentukan jenisnya.

Dalam kasus ini, f''(x) = -4.
Karena -4 < 0, maka titik stasioner (5/4, 49/8) adalah titik maksimum.