Tentukan turunan kedua setiap fungsi

40(4x^2+1)^3(36x^2+1)

Pembahasan

Untuk menentukan turunan kedua dari fungsi \(f(x) = (4x^2+1)^5\), kita perlu menggunakan aturan rantai (chain rule) dua kali.

Langkah 1: Cari turunan pertama (f'(x)).
Misalkan \(u = 4x^2+1\). Maka \(f(u) = u^5\).
Turunan \(u\) terhadap \(x\) adalah \(u' = \frac{du}{dx} = 8x\).
Turunan \(f\) terhadap \(u\) adalah \(f'(u) = \frac{df}{du} = 5u^4\).

Menggunakan aturan rantai, \(f'(x) = f'(u) \times u'\).
\(f'(x) = 5u^4 \times 8x = 5(4x^2+1)^4 \times 8x = 40x(4x^2+1)^4\).

Langkah 2: Cari turunan kedua (f''(x)).
Sekarang kita perlu menurunkan \(f'(x) = 40x(4x^2+1)^4\). Kita akan menggunakan aturan perkalian (product rule), yang menyatakan bahwa jika \(h(x) = g(x)k(x)\), maka \(h'(x) = g'(x)k(x) + g(x)k'(x)\).

Misalkan \(g(x) = 40x\) dan \(k(x) = (4x^2+1)^4\).

Turunan \(g(x)\) adalah \(g'(x) = 40\).

Untuk menurunkan \(k(x) = (4x^2+1)^4\), kita gunakan aturan rantai lagi. Misalkan \(v = 4x^2+1\), maka \(k(v) = v^4\).
Turunan \(v\) terhadap \(x\) adalah \(v' = 8x\).
Turunan \(k\) terhadap \(v\) adalah \(k'(v) = 4v^3\).
Menggunakan aturan rantai, \(k'(x) = k'(v) \times v' = 4v^3 \times 8x = 4(4x^2+1)^3 \times 8x = 32x(4x^2+1)^3\).

Sekarang kita terapkan aturan perkalian pada \(f'(x)\):
\(f''(x) = g'(x)k(x) + g(x)k'(x)\)
\(f''(x) = 40 \times (4x^2+1)^4 + 40x \times [32x(4x^2+1)^3]\)
\(f''(x) = 40(4x^2+1)^4 + 1280x^2(4x^2+1)^3\)

Kita bisa memfaktorkan \((4x^2+1)^3\) dari kedua suku:
\(f''(x) = (4x^2+1)^3 [40(4x^2+1) + 1280x^2]\)
\(f''(x) = (4x^2+1)^3 [160x^2 + 40 + 1280x^2]\)
\(f''(x) = (4x^2+1)^3 [1440x^2 + 40]\)

Kita juga bisa memfaktorkan 40 dari dalam kurung siku:
\(f''(x) = 40(4x^2+1)^3 [36x^2 + 1]\)

Jadi, turunan kedua dari fungsi \(f(x)=(4x^2+1)^5\) adalah \(40(4x^2+1)^3 (36x^2+1)\).