Tentukan volume benda putar yang terjadi jika: a. daerah

Volume a = 8π/3, Volume b = 64π/15.

Pembahasan

a. Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2 + 1 dan garis y = 3, diputar mengelilingi sumbu Y.
Pertama, cari titik potong kedua kurva:
x^2 + 1 = 3 => x^2 = 2 => x = ±√2.
Karena diputar mengelilingi sumbu Y, kita gunakan metode cakram/cincin dengan mengintegralkan terhadap y. Ubah persamaan y = x^2 + 1 menjadi x^2 = y - 1.
Batas integralnya adalah dari y = 1 (nilai minimum y = x^2 + 1 ketika x=0) hingga y = 3.
Volume V = π ∫[dari y=1 sampai y=3] (x^2)^2 dy = π ∫[dari y=1 sampai y=3] (y - 1)^2 dy
Misalkan u = y - 1, maka du = dy. Batas integral menjadi u = 1 - 1 = 0 dan u = 3 - 1 = 2.
V = π ∫[dari u=0 sampai u=2] u^2 du = π [1/3 u^3] [dari u=0 sampai u=2]
V = π (1/3 * 2^3 - 1/3 * 0^3) = π (8/3) = 8π/3.

b. Volume benda putar daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x dan parabola y = x^2, diputar mengelilingi sumbu X.
Cari titik potong:
x^2 = 2x => x^2 - 2x = 0 => x(x - 2) = 0 => x = 0 atau x = 2.
Batas integral adalah dari x = 0 sampai x = 2.
Dalam interval ini, garis y = 2x berada di atas parabola y = x^2.
Volume V = π ∫[dari x=0 sampai x=2] [(2x)^2 - (x^2)^2] dx
V = π ∫[dari x=0 sampai x=2] [4x^2 - x^4] dx
V = π [4/3 x^3 - 1/5 x^5] [dari x=0 sampai x=2]
V = π [(4/3 * 2^3 - 1/5 * 2^5) - (0)]
V = π [4/3 * 8 - 1/5 * 32]
V = π [32/3 - 32/5]
V = π [ (160 - 96) / 15 ]
V = π [64/15] = 64π/15.

Jadi, volume benda putar untuk a adalah 8π/3 satuan kubik, dan untuk b adalah 64π/15 satuan kubik.