Pada persegi panjang OACB, D adalah titik tengah OA dan P

-1/3 a - 2/3 b

Pembahasan

Dalam persegi panjang OACB, O adalah titik pangkal (0,0). Misalkan A berada pada sumbu x dan B pada sumbu y.
Karena A = OA dan B = OB, maka koordinat titik A adalah (a, 0) dan koordinat titik B adalah (0, b).
Koordinat titik C adalah (a, b).

D adalah titik tengah OA. Maka koordinat D adalah $(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (a/2, 0)$.

Persamaan garis diagonal AB menghubungkan titik A(a, 0) dan B(0, b).
Gradien garis AB = $(b-0) / (0-a) = -b/a$.
Persamaan garis AB: $y - 0 = -b/a (x - a) 
=> y = -b/a x + b$.

Persamaan garis CD menghubungkan titik C(a, b) dan D(a/2, 0).
Gradien garis CD = $(0-b) / (a/2 - a) = -b / (-a/2) = 2b/a$.
Persamaan garis CD: $y - 0 = 2b/a (x - a/2) 
=> y = 2b/a x - b$.

P adalah titik potong CD dengan diagonal AB. Untuk mencari P, kita samakan kedua persamaan garis:
$-b/a x + b = 2b/a x - b$
$2b = 2b/a x + b/a x$
$2b = (3b/a) x$
$x = 2b \cdot a / (3b) = 2a/3$.

Sekarang kita cari nilai y dengan substitusi x ke salah satu persamaan, misalnya persamaan garis AB:
$y = -b/a (2a/3) + b$
$y = -2b/3 + b = b/3$.

Jadi, koordinat titik P adalah $(2a/3, b/3)$.

Kita perlu mencari vektor CP. Vektor CP = P - C.
C = (a, b) = (3a/3, 3b/3)
P = (2a/3, b/3)

CP = $(2a/3 - 3a/3, b/3 - 3b/3) = (-a/3, -2b/3)$.

Panjang vektor CP adalah $|CP| = \sqrt{(-a/3)^2 + (-2b/3)^2}$
$|CP| = \sqrt{a^2/9 + 4b^2/9} = \sqrt{(a^2 + 4b^2)/9} = \frac{1}{3} \sqrt{a^2 + 4b^2}$.

Namun, biasanya dalam konteks vektor seperti ini, yang ditanyakan adalah representasi vektor CP dalam bentuk vektor a dan b, bukan panjangnya.
Jika a = OA mewakili vektor $\vec{OA}$ dan b = OB mewakili vektor $\vec{OB}$, maka:
$\vec{OA} = \vec{a}$
$\vec{OB} = \vec{b}$
$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$
$\vec{OD} = \frac{1}{2} \vec{OA} = \frac{1}{2} \vec{a}$

Persamaan garis CD:
$\vec{r}_{CD} = \vec{OC} + t(\vec{OD} - \vec{OC}) = (\vec{a} + \vec{b}) + t(\frac{1}{2} \vec{a} - (\vec{a} + \vec{b}))$
$\vec{r}_{CD} = (\vec{a} + \vec{b}) + t(-\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b})$
$\vec{r}_{CD} = (1 - \frac{1}{2}t)\vec{a} + (1 - t)\vec{b}$

Persamaan garis AB:
$\vec{r}_{AB} = \vec{OA} + s(\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a})$
$\vec{r}_{AB} = (1-s)\vec{a} + s\vec{b}$

Titik potong P terjadi ketika $\vec{r}_{CD} = \vec{r}_{AB}$:
$(1 - \frac{1}{2}t)\vec{a} + (1 - t)\vec{b} = (1-s)\vec{a} + s\vec{b}$

Karena $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah vektor yang tidak sejajar (komponen persegi panjang), koefisiennya harus sama:
$1 - t = s$ (dari komponen $\vec{b}$)
$1 - \frac{1}{2}t = 1 - s$ (dari komponen $\vec{a}$)

Substitusikan $s = 1 - t$ ke persamaan kedua:
$1 - \frac{1}{2}t = 1 - (1 - t)$
$1 - \frac{1}{2}t = 1 - 1 + t$
$1 - \frac{1}{2}t = t$
$1 = t + \frac{1}{2}t$
$1 = \frac{3}{2}t$
$t = \frac{2}{3}$.

Sekarang cari s:
$s = 1 - t = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Titik P dapat dinyatakan sebagai $\vec{OP} = \vec{r}_{AB} = (1-\frac{1}{3})\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.

Kita perlu mencari CP. Vektor CP = $\vec{OP} - \vec{OC}$.
$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{a} + \vec{b}$.

CP = $(\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) - (\vec{a} + \vec{b})$
CP = $(\frac{2}{3}\vec{a} - \vec{a}) + (\frac{1}{3}\vec{b} - \vec{b})$
CP = $-\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

Jika soal menanyakan vektor CP dalam bentuk vektor a dan b, maka jawabannya adalah -1/3 a - 2/3 b.
Jika soal menanyakan panjang CP, maka $|CP| = \frac{1}{3} \sqrt{a^2 + 4b^2}$.

Dengan konvensi bahwa 'a=OA' berarti vektor $\vec{OA}$ dan 'b=OB' berarti vektor $\vec{OB}$, maka CP = -1/3 a - 2/3 b.