Tentukanlah hubungan a, b, c dan d dengan x1, x2 dan x3

Koefisien $b = -(x_1+x_2+x_3)$, $c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$, dan $d = -x_1x_2x_3$ (dengan asumsi $a=1$).

Pembahasan

Hubungan antara koefisien polinomial dan akar-akarnya pada persamaan kubik $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ dapat dijelaskan sebagai berikut:

Pertama, kita ekspansi bentuk $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$: 
$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = (x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2)(x-x_3)$
$= x(x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2) - x_3(x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2)$
$= x^3 - x_2x^2 - x_1x^2 + x_1x_2x - x_3x^2 + x_3x_2x + x_3x_1x - x_1x_2x_3$
$= x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$

Sekarang, kita bandingkan dengan bentuk $ax^3 + bx^2 + cx + d$. Agar kedua bentuk polinomial ini sama, koefisien dari suku-suku yang bersesuaian harus sama. Jika kita asumsikan $a=1$ (karena bentuk yang diberikan adalah $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ yang memiliki koefisien utama 1), maka:

1. Koefisien $x^2$: $b = -(x_1+x_2+x_3)$
   Ini berarti jumlah akar-akar adalah negatif dari koefisien $x^2$ dibagi koefisien $x^3$. Dalam kasus ini, $x_1+x_2+x_3 = -b/a$.

2. Koefisien $x$: $c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
   Ini berarti jumlah perkalian akar-akar secara berpasangan adalah koefisien $x$ dibagi koefisien $x^3$. Dalam kasus ini, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c/a$.

3. Konstanta: $d = -x_1x_2x_3$
   Ini berarti hasil kali akar-akar adalah negatif dari konstanta dibagi koefisien $x^3$. Dalam kasus ini, $x_1x_2x_3 = -d/a$.

Secara umum, jika persamaan polinomialnya adalah $ax^n + bx^{n-1} + ... + k = 0$ dengan akar-akar $x_1, x_2, ..., x_n$, maka:
Jumlah akar: $\sum x_i = -b/a$
Jumlah hasil kali berpasangan: $\sum_{i<j} x_i x_j = c/a$
...
Produk akar: $x_1 x_2 ... x_n = (-1)^n k/a$

Dalam konteks soal ini, dengan $a=1$, hubungan tersebut menjadi:
$b = -(x_1+x_2+x_3)$
$c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
$d = -x_1x_2x_3$