Tentukanlah jumlah 12 suku pertama deret berikut ini.

Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah 8190.

Pembahasan

Untuk menentukan jumlah 12 suku pertama dari deret $6+24+60+120+210+...$, kita perlu mengidentifikasi pola deret tersebut terlebih dahulu. Mari kita lihat selisih antara suku-suku yang berdekatan:
$Suku 2 - Suku 1 = 24 - 6 = 18$
$Suku 3 - Suku 2 = 60 - 24 = 36$
$Suku 4 - Suku 3 = 120 - 60 = 60$
$Suku 5 - Suku 4 = 210 - 120 = 90$

Selisihnya tidak konstan, jadi ini bukan barisan aritmetika. Mari kita lihat selisih tingkat kedua:
$36 - 18 = 18$
$60 - 36 = 24$
$90 - 60 = 30$

Selisih tingkat kedua juga tidak konstan. Mari kita lihat selisih tingkat ketiga:
$24 - 18 = 6$
$30 - 24 = 6$

Karena selisih tingkat ketiga konstan (yaitu 6), maka ini adalah barisan aritmetika tingkat 3. Rumus umum untuk suku ke-n dari barisan aritmetika tingkat 3 adalah polinomial derajat 3, $U_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$.

Kita bisa menggunakan beberapa suku pertama untuk membentuk sistem persamaan:
Untuk n=1: $A(1)^3 + B(1)^2 + C(1) + D = 6 
ightarrow A + B + C + D = 6$
Untuk n=2: $A(2)^3 + B(2)^2 + C(2) + D = 24 
ightarrow 8A + 4B + 2C + D = 24$
Untuk n=3: $A(3)^3 + B(3)^2 + C(3) + D = 60 
ightarrow 27A + 9B + 3C + D = 60$
Untuk n=4: $A(4)^3 + B(4)^2 + C(4) + D = 120 
ightarrow 64A + 16B + 4C + D = 120$

Cara yang lebih mudah adalah menggunakan koefisien dari selisih:
Koefisien $A = \frac{	ext{selisih tingkat 3}}{3!} = \frac{6}{6} = 1$

Dengan $A=1$, kita bisa mencari suku ke-n. Perhatikan bahwa $n^3$ memberikan suku: $1, 8, 27, 64, ...$
Selisih deret asli dengan $n^3$: $(6-1), (24-8), (60-27), (120-64), ... 
ightarrow 5, 16, 33, 56, ...$
Ini adalah barisan kuadrat. Mari kita cari rumusnya $Bn^2 + Cn + D$.
Selisih tingkat 1: $16-5=11, 33-16=17, 56-33=23$
Selisih tingkat 2: $17-11=6, 23-17=6$.
Koefisien $B = \frac{	ext{selisih tingkat 2}}{2!} = \frac{6}{2} = 3$.

Sekarang kita punya $U_n = n^3 + 3n^2 + Cn + D$. Perhatikan $n^3+3n^2$ memberikan suku: $1+3=4, 8+12=20, 27+27=54, 64+48=112, ...$
Selisih deret asli dengan $n^3+3n^2$: $(6-4), (24-20), (60-54), (120-112), ... 
ightarrow 2, 4, 6, 8, ...$
Ini adalah barisan aritmetika dengan beda 2. Rumusnya adalah $2n$. Jadi $Cn+D = 2n$. Maka $C=2$ dan $D=0$.

Jadi, rumus suku ke-n adalah $U_n = n^3 + 3n^2 + 2n$. Kita bisa cek:
$U_1 = 1^3 + 3(1)^2 + 2(1) = 1 + 3 + 2 = 6$
$U_2 = 2^3 + 3(2)^2 + 2(2) = 8 + 12 + 4 = 24$
$U_3 = 3^3 + 3(3)^2 + 2(3) = 27 + 27 + 6 = 60$
$U_4 = 4^3 + 3(4)^2 + 2(4) = 64 + 48 + 8 = 120$
$U_5 = 5^3 + 3(5)^2 + 2(5) = 125 + 75 + 10 = 210$

Rumus ini benar. Sekarang kita perlu mencari jumlah 12 suku pertama ($S_{12}$).
$S_{12} = 	ext{Jumlah } (n^3 + 3n^2 + 2n) 	ext{ dari } n=1 	ext{ sampai } 12$
$S_{12} = 	ext{Jumlah } n^3 + 3 	imes 	ext{Jumlah } n^2 + 2 	imes 	ext{Jumlah } n$

Kita gunakan rumus:
Jumlah $n = rac{n(n+1)}{2}$
Jumlah $n^2 = rac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Jumlah $n^3 = ig(rac{n(n+1)}{2}ig)^2$

Untuk n=12:
Jumlah $n = rac{12(12+1)}{2} = rac{12 	imes 13}{2} = 6 	imes 13 = 78$
Jumlah $n^2 = rac{12(12+1)(2 	imes 12 + 1)}{6} = rac{12 	imes 13 	imes 25}{6} = 2 	imes 13 	imes 25 = 26 	imes 25 = 650$
Jumlah $n^3 = ig(rac{12(12+1)}{2}ig)^2 = (78)^2 = 6084$

Sekarang substitusikan kembali ke rumus $S_{12}$:
$S_{12} = 6084 + 3 	imes 650 + 2 	imes 78$
$S_{12} = 6084 + 1950 + 156$
$S_{12} = 8034 + 156$
$S_{12} = 8190$

Jadi, jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah 8190.