Tentukanlah jumlah 12 suku pertama deret berikut ini. 1 + 3

Jumlah 12 suku pertama deret bilangan segitiga adalah 364.

Pembahasan

Untuk menentukan jumlah 12 suku pertama dari deret 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ..., kita perlu mengidentifikasi pola dari deret tersebut. 

Perbedaan antara suku-suku berurutan:
Suku ke-2 - Suku ke-1 = 3 - 1 = 2
Suku ke-3 - Suku ke-2 = 6 - 3 = 3
Suku ke-4 - Suku ke-3 = 10 - 6 = 4
Suku ke-5 - Suku ke-4 = 15 - 10 = 5

Terlihat bahwa perbedaan antara suku-suku berurutan meningkat secara linear (2, 3, 4, 5, ...). Ini menunjukkan bahwa deret ini adalah deret tingkat kedua atau deret Fibonacci yang dimodifikasi atau deret bilangan segitiga.

Suku-suku deret ini adalah bilangan segitiga. Bilangan segitiga ke-n, dinotasikan sebagai T_n, adalah jumlah n bilangan asli pertama: T_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.

Mari kita cek apakah suku-suku deret ini sesuai dengan rumus bilangan segitiga:
Suku ke-1: T_1 = 1(1+1)/2 = 1(2)/2 = 1.
Suku ke-2: T_2 = 2(2+1)/2 = 2(3)/2 = 3.
Suku ke-3: T_3 = 3(3+1)/2 = 3(4)/2 = 6.
Suku ke-4: T_4 = 4(4+1)/2 = 4(5)/2 = 10.
Suku ke-5: T_5 = 5(5+1)/2 = 5(6)/2 = 15.

Suku-suku deret memang merupakan bilangan segitiga.

Jadi, deret yang diberikan adalah jumlah dari bilangan segitiga: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ...
Suku ke-n dari deret ini adalah U_n = T_n = n(n+1)/2.

Kita perlu mencari jumlah 12 suku pertama dari deret ini, yaitu S_12.
S_n = Sigma dari U_k untuk k=1 sampai n.
S_n = Sigma dari k(k+1)/2 untuk k=1 sampai n.
S_n = (1/2) * Sigma dari (k^2 + k) untuk k=1 sampai n.
S_n = (1/2) * [Sigma dari k^2 + Sigma dari k].

Kita tahu rumus Sigma k dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2.
Kita tahu rumus Sigma k^2 dari 1 sampai n adalah n(n+1)(2n+1)/6.

Jadi, S_n = (1/2) * [n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2].
S_n = (1/2) * [n(n+1)/2 * ((2n+1)/3 + 1)].
S_n = (1/2) * [n(n+1)/2 * ((2n+1+3)/3)].
S_n = (1/2) * [n(n+1)/2 * ((2n+4)/3)].
S_n = (1/2) * [n(n+1)/2 * 2(n+2)/3].
S_n = n(n+1)(n+2)/6.

Rumus untuk jumlah n suku pertama dari deret bilangan segitiga adalah S_n = n(n+1)(n+2)/6.

Sekarang kita hitung jumlah 12 suku pertama (n=12):
S_12 = 12(12+1)(12+2)/6.
S_12 = 12(13)(14)/6.
S_12 = (12/6) * 13 * 14.
S_12 = 2 * 13 * 14.
S_12 = 26 * 14.

Perhitungan 26 * 14:
26 * 10 = 260
26 * 4 = 104
260 + 104 = 364.

Jadi, jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah 364.