Tentukanlah nilai a dan b , jika: x^4+x^3+ax+b habis dibagi

Nilai a adalah -7 dan nilai b adalah 5.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a dan b agar polinomial x^4 + x^3 + ax + b habis dibagi oleh (x^2 + 3x + 5), kita dapat menggunakan konsep pembagian polinomial atau teorema sisa.

**Metode 1: Pembagian Polinomial**
Kita bisa melakukan pembagian panjang polinomial x^4 + x^3 + ax + b oleh x^2 + 3x + 5. Agar habis dibagi, sisa pembagiannya harus nol.

```
        x^2  - 2x   + 3
      __________________
 x^2+3x+5 | x^4 + x^3 + 0x^2 + ax + b
        -(x^4 + 3x^3 + 5x^2)
        __________________
              -2x^3 - 5x^2 + ax
            -(-2x^3 - 6x^2 - 10x)
            __________________
                    x^2 + (a+10)x + b
                  -(x^2 +  3x   + 5)
                  __________________
                         (a+7)x + (b-5)
```

Agar habis dibagi, sisa pembagian harus nol. Jadi, kita harus memiliki:
(a+7)x + (b-5) = 0

Ini berarti koefisien x dan konstanta harus nol:
*   a + 7 = 0  =>  a = -7
*   b - 5 = 0  =>  b = 5

**Metode 2: Teorema Sisa (menggunakan akar-akar pembagi)**
Jika x^2 + 3x + 5 = 0, maka akar-akarnya adalah $\alpha$ dan $\beta$. Dari sifat akar-akar, $\alpha + \beta = -3$ dan $\alpha \beta = 5$. Namun, mencari akar-akar ini secara langsung melibatkan bilangan kompleks, sehingga metode pembagian polinomial lebih langsung.

Jika kita tetap ingin menggunakan konsep akar, kita bisa menyatakan bahwa jika P(x) = x^4 + x^3 + ax + b habis dibagi oleh Q(x) = x^2 + 3x + 5, maka P(x) = Q(x) * H(x), di mana H(x) adalah hasil bagi.
Karena derajat P(x) adalah 4 dan derajat Q(x) adalah 2, maka derajat H(x) harus 2. Misalkan H(x) = cx^2 + dx + e.

x^4 + x^3 + ax + b = (x^2 + 3x + 5)(cx^2 + dx + e)

Dengan membandingkan koefisien:
*   Koefisien x^4: 1 = c
*   Koefisien x^3: 1 = d + 3c => 1 = d + 3(1) => d = -2
*   Koefisien x^2: 0 = e + 3d + 5c => 0 = e + 3(-2) + 5(1) => 0 = e - 6 + 5 => e = 1

Sekarang kita punya H(x) = x^2 - 2x + 1. Maka:

x^4 + x^3 + ax + b = (x^2 + 3x + 5)(x^2 - 2x + 1)
                     = x^2(x^2 - 2x + 1) + 3x(x^2 - 2x + 1) + 5(x^2 - 2x + 1)
                     = (x^4 - 2x^3 + x^2) + (3x^3 - 6x^2 + 3x) + (5x^2 - 10x + 5)
                     = x^4 + (-2+3)x^3 + (1-6+5)x^2 + (3-10)x + 5
                     = x^4 + x^3 + 0x^2 - 7x + 5

Membandingkan dengan x^4 + x^3 + ax + b, kita dapatkan:
*   a = -7
*   b = 5

Kedua metode memberikan hasil yang sama.