Tiga bilangan yang berjumlah 26 membentuk barisan geometri.

Bilangan-bilangan tersebut adalah 2, 6, dan 18.

Pembahasan

Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah a, ar, dan ar^2 (membentuk barisan geometri). Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 26:
a + ar + ar^2 = 26
Karena suku tengahnya (ar) ditambah 4, maka ketiga bilangan tersebut menjadi a, ar+4, dan ar^2 (membentuk barisan aritmetika).
Dalam barisan aritmetika, berlaku "suku tengah dikuadratkan sama dengan hasil kali suku-suku yang berdekatan" atau "selisih antara suku-suku yang berdekatan adalah konstan". Menggunakan sifat selisih:
(ar + 4) - a = ar^2 - (ar + 4)
2(ar + 4) = a + ar^2
2ar + 8 = a + ar^2
Kita punya dua persamaan:
1) a(1 + r + r^2) = 26
2) 2ar + 8 = a + ar^2
Dari persamaan (2), kita bisa substitusi atau manipulasi. Mari kita susun ulang persamaan (2) menjadi:
ar^2 - 2ar + a = 8
a(r^2 - 2r + 1) = 8
a(r - 1)^2 = 8
Sekarang, kita perlu mencari nilai a dan r. Kita bisa mencoba beberapa nilai r. Jika r=2:
a(2-1)^2 = 8 => a(1)^2 = 8 => a = 8.
Jika a=8 dan r=2, maka ketiga bilangan dalam barisan geometri adalah: 8, 8*2, 8*2^2 => 8, 16, 32.
Cek jumlahnya: 8 + 16 + 32 = 56. Ini tidak sama dengan 26, jadi r=2 bukan solusi.
Coba lagi dari persamaan (2) kita susun ulang menjadi: ar^2 - a - 2ar + 8 = 0. Atau a(r^2 - 1) - 2ar + 8 = 0.
Mari kita coba faktorkan persamaan (1) dan (2) secara berbeda.
Dari (2): a + ar^2 = 2ar + 8. Substitusi ke (1):
(2ar + 8) + ar = 26
3ar + 8 = 26
3ar = 18
ar = 6.
Ini adalah suku tengah barisan geometri awal.
Sekarang kita punya:
a + 6 + ar^2 = 26 => a + ar^2 = 20.
Kita juga tahu ar = 6, jadi a = 6/r.
Substitusi a = 6/r ke a + ar^2 = 20:
(6/r) + (6/r)r^2 = 20
(6/r) + 6r = 20
Kalikan semua dengan r:
6 + 6r^2 = 20r
6r^2 - 20r + 6 = 0
Bagi dengan 2:
3r^2 - 10r + 3 = 0
Faktorkan:
(3r - 1)(r - 3) = 0
Maka r = 1/3 atau r = 3.
Kasus 1: r = 3.
Jika r = 3, maka ar = 6 => a(3) = 6 => a = 2.
Ketiga bilangan dalam barisan geometri adalah: 2, 2*3, 2*3^2 => 2, 6, 18.
Cek jumlahnya: 2 + 6 + 18 = 26. (Benar)
Cek barisan aritmetika setelah suku tengah ditambah 4: 2, 6+4, 18 => 2, 10, 18.
Selisihnya: 10-2 = 8, 18-10 = 8. (Barisan aritmetika, benar)
Kasus 2: r = 1/3.
Jika r = 1/3, maka ar = 6 => a(1/3) = 6 => a = 18.
Ketiga bilangan dalam barisan geometri adalah: 18, 18*(1/3), 18*(1/3)^2 => 18, 6, 2.
Cek jumlahnya: 18 + 6 + 2 = 26. (Benar)
Cek barisan aritmetika setelah suku tengah ditambah 4: 18, 6+4, 2 => 18, 10, 2.
Selisihnya: 10-18 = -8, 2-10 = -8. (Barisan aritmetika, benar)
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 2, 6, dan 18, atau 18, 6, dan 2.