Titik (0, k) adalah titik potong garis singgung persekutuan

Nilai k yang memenuhi adalah 4√2 atau -4√2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai k, kita perlu menentukan persamaan garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran terlebih dahulu. Lingkaran pertama memiliki persamaan x² + y² = 16, yang berpusat di O(0, 0) dengan jari-jari r1 = 4. Lingkaran kedua memiliki persamaan (x-8)² + (y-8)² = 16, yang berpusat di C(8, 8) dengan jari-jari r2 = 4. Karena kedua jari-jari sama, garis singgung persekutuan luar akan sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat. Namun, dalam kasus ini, kita mencari titik potong dengan sumbu Y, yang berarti x = 0. Kita bisa menggunakan sifat bahwa titik potong garis singgung persekutuan luar dengan sumbu Y akan membagi jarak antara kedua pusat secara eksternal dengan perbandingan jari-jari kedua lingkaran. Namun, karena jari-jarinya sama, titik potong tersebut akan berada di tengah-tengah antara kedua pusat jika kita melihat proyeksinya pada sumbu Y. Titik potong dengan sumbu Y memiliki koordinat (0, k). Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan kedua lingkaran untuk mencari titik potong dengan sumbu Y, tetapi ini akan memberikan titik potong lingkaran dengan sumbu Y, bukan garis singgungnya. Cara yang lebih tepat adalah dengan menggunakan konsep homothety atau mencari persamaan garis singgung secara langsung. Cara yang lebih sederhana adalah menyadari bahwa karena kedua lingkaran memiliki jari-jari yang sama dan pusatnya terletak pada garis y=x, garis singgung persekutuan luar akan sejajar dengan sumbu x dan sumbu y jika pusatnya berada di tempat yang berbeda. Namun, dalam kasus ini, kita dapat menggunakan fakta bahwa titik potong garis singgung persekutuan luar dengan sumbu Y adalah titik (0, k). Jarak dari (0, k) ke pusat lingkaran pertama (0, 0) harus sama dengan jarak dari (0, k) ke pusat lingkaran kedua (8, 8) jika (0, k) adalah pusat dilatasi. Tetapi kita mencari titik potong dengan sumbu Y. Titik singgung persekutuan luar pada sumbu Y akan memiliki jarak yang sama ke kedua pusat. Jarak dari (0, k) ke (0, 0) adalah |k|. Jarak dari (0, k) ke (8, 8) adalah \(\sqrt{(8-0)^2 + (8-k)^2} = \sqrt{64 + (8-k)^2}\). Karena ini adalah titik potong dengan sumbu Y, dan garis singgungnya bersinggungan dengan kedua lingkaran, kita dapat menggunakan properti jarak. Jarak dari titik pada sumbu Y ke pusat-pusat lingkaran yang berhubungan dengan garis singgung persekutuan luar adalah sama. Namun, ini tidak tepat. Kita perlu mencari persamaan garis singgung persekutuan luar terlebih dahulu. Cara lain adalah dengan mengamati simetri. Pusat kedua lingkaran adalah (0,0) dan (8,8). Jari-jari kedua lingkaran adalah 4. Garis yang menghubungkan kedua pusat adalah y=x. Garis singgung persekutuan luar akan tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik singgung pada kedua lingkaran. Karena jari-jari sama, garis singgung persekutuan luar akan sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat jika pusatnya berbeda. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan rumus jarak dari pusat ke garis singgung. Misalkan persamaan garis singgung adalah y = mx + c. Karena melalui (0, k), maka k = m(0) + c, sehingga c = k. Persamaan garis menjadi y = mx + k atau mx - y + k = 0. Jarak dari (0, 0) ke garis ini adalah |m(0) - 0 + k| / \(\sqrt{m^2 + (-1)^2}\) = |k| / \(\sqrt{m^2 + 1}\). Jarak ini harus sama dengan jari-jari r1 = 4. Jadi, |k| / \(\sqrt{m^2 + 1}\) = 4. Jarak dari (8, 8) ke garis ini juga harus sama dengan jari-jari r2 = 4. Jadi, |m(8) - 8 + k| / \(\sqrt{m^2 + 1}\) = 4. Dari kedua persamaan, kita dapatkan |k| = |8m - 8 + k|. Ini berarti k = 8m - 8 + k atau k = -(8m - 8 + k). Kasus pertama: 0 = 8m - 8, sehingga 8m = 8, m = 1. Jika m = 1, maka |k| / \(\sqrt{1^2 + 1}\) = 4, |k| / \(\sqrt{2}\) = 4, |k| = 4\(\sqrt{2}\). Jadi k = 4\(\sqrt{2}\) atau k = -4\(\sqrt{2}\). Kasus kedua: k = -8m + 8 - k, sehingga 2k = -8m + 8. Jika m=1, 2k = -8 + 8 = 0, jadi k = 0. Namun, titik (0, 0) adalah pusat lingkaran pertama. Jadi kita harus memeriksa kembali. Karena ini adalah garis singgung PERSEKUTUAN LUAR, dan kedua lingkaran memiliki jari-jari yang sama, garis singgung persekutuan luar akan sejajar dengan garis yang menghubungkan kedua pusat, yaitu y=x. Namun, ini hanya berlaku jika kedua lingkaran berada pada sisi yang sama dari garis singgung. Dalam kasus ini, garis singgungnya akan sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y. Titik potong dengan sumbu Y adalah (0, k). Jarak dari (0, k) ke (0, 0) adalah |k|. Jarak dari (0, k) ke (8, 8) adalah \(\sqrt{(8-0)^2 + (8-k)^2}\). Kita perlu mencari garis singgungnya. Pusat O=(0,0), r1=4. Pusat C=(8,8), r2=4. Jarak OC = \(\sqrt{8^2+8^2} = \sqrt{128} = 8\(\sqrt{2}\). Karena r1=r2, garis singgung persekutuan luar akan sejajar dengan garis yang menghubungkan pusat kedua lingkaran. Garis penghubung pusat adalah y=x. Jadi, gradien garis singgung persekutuan luar adalah 1. Persamaan garis singgung adalah y = x + c. Jarak dari (0,0) ke y - x - c = 0 adalah |0 - 0 - c| / \(\sqrt{1^2 + (-1)^2}\) = |-c| / \(\sqrt{2}\) = 4. Maka |c| = 4\(\sqrt{2}\), sehingga c = 4\(\sqrt{2}\) atau c = -4\(\sqrt{2}\). Persamaan garis singgung adalah y = x + 4\(\sqrt{2}\) atau y = x - 4\(\sqrt{2}\). Titik potong dengan sumbu Y adalah ketika x=0. Jika y = x + 4\(\sqrt{2}\), maka y = 4\(\sqrt{2}\). Jadi k = 4\(\sqrt{2}\). Jika y = x - 4\(\sqrt{2}\), maka y = -4\(\sqrt{2}\). Jadi k = -4\(\sqrt{2}\). Jadi nilai k yang memenuhi adalah 4\(\sqrt{2}\) atau -4\(\sqrt{2}\). Pertanyaan ini mencari satu nilai k. Mari kita periksa apakah ada syarat lain. Jika titik (0, k) adalah titik potong, maka ia berada pada garis singgung. Kita harus memilih salah satu dari dua garis singgung. Biasanya, jika tidak ditentukan, kita bisa mengambil salah satu. Namun, jika kita melihat konteks soal, mungkin ada satu solusi yang lebih umum. Mari kita cek kembali. Titik potong garis singgung persekutuan luar dengan sumbu Y. Ada dua garis singgung persekutuan luar. Jika kita melihat gambar, salah satu akan memotong sumbu Y di atas, dan yang lain di bawah. Jadi, kedua nilai k mungkin benar. Namun, jika kita perlu memilih satu, mari kita lihat apakah ada informasi tambahan. Tanpa informasi tambahan, kedua nilai tersebut valid. Jika soal meminta nilai k yang positif, maka k = 4\(\sqrt{2}\). Jika soal meminta nilai k yang negatif, maka k = -4\(\sqrt{2}\). Jika soal tidak menentukan, dan hanya meminta 'nilai k', biasanya ada satu nilai yang paling relevan atau kedua nilai harus disebutkan. Mari kita asumsikan k adalah nilai positif. Maka k = 4\(\sqrt{2}\). Nilai k adalah 4√2 atau -4√2.