Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak pada nilai

tan A = √14 / 2

Pembahasan

Diketahui segitiga samakaki ABC dengan titik-titik sudut terletak pada lingkaran berjari-jari R = 3 cm. Alas AB = 2√2 cm.
Misalkan O adalah pusat lingkaran dan C adalah puncak segitiga. OA = OB = OC = R = 3 cm.
Dalam segitiga OAB, OA = OB = 3 cm dan AB = 2√2 cm. Kita dapat mencari sudut AOB menggunakan aturan kosinus:
AB² = OA² + OB² - 2(OA)(OB)cos(AOB)
(2√2)² = 3² + 3² - 2(3)(3)cos(AOB)
8 = 9 + 9 - 18cos(AOB)
8 = 18 - 18cos(AOB)
18cos(AOB) = 18 - 8
18cos(AOB) = 10
cos(AOB) = 10/18 = 5/9

Karena segitiga ABC samakaki dengan alas AB, maka sudut OAB = sudut OBA. Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki.
Dalam segitiga OAB, kita juga bisa mencari sudut OAB (yang sama dengan sudut A pada segitiga ABC) menggunakan aturan kosinus pada sisi OB:
OB² = OA² + AB² - 2(OA)(AB)cos(OAB)
3² = 3² + (2√2)² - 2(3)(2√2)cos(A)
9 = 9 + 8 - 12√2 cos(A)
0 = 8 - 12√2 cos(A)
12√2 cos(A) = 8
cos(A) = 8 / (12√2) = 2 / (3√2) = 2√2 / 6 = √2 / 3

Sekarang kita perlu mencari tan A. Kita tahu bahwa tan A = sin A / cos A. Kita bisa mencari sin A menggunakan identitas sin²A + cos²A = 1:
sin²A = 1 - cos²A
sin²A = 1 - (√2 / 3)²
sin²A = 1 - (2 / 9)
sin²A = 7 / 9
sin A = √(7/9) = √7 / 3 (karena sudut segitiga lancip, sinus positif)

Akhirnya, hitung tan A:
tan A = sin A / cos A = (√7 / 3) / (√2 / 3)
tan A = √7 / √2 = √14 / 2