Tulis dalam bentuk jumlah sigma r=1 n 1/r(r+2) (i) Tentukan

A = 1/2, B = -1/2. Pembuktian sigma r=1 n 1/r(r+2) = n(3n+5)/4(n+1)(n+2) dengan deret teleskopik.

Pembahasan

Soal ini melibatkan deret sigma dan dekomposisi pecahan parsial.

Bagian (i): Menentukan nilai A dan B sehingga 1/r(r+2) = A/r + B/(r+2)
Untuk mencari nilai A dan B, kita samakan kedua sisi:
1/r(r+2) = (A(r+2) + Br) / r(r+2)
1 = A(r+2) + Br
1 = Ar + 2A + Br
1 = (A+B)r + 2A

Dengan menyamakan koefisien r dan konstanta:
Koefisien r: A + B = 0  => B = -A
Konstanta: 2A = 1 => A = 1/2

Substitusikan A = 1/2 ke B = -A, maka B = -1/2.
Jadi, 1/r(r+2) = (1/2)/r - (1/2)/(r+2)

Bagian (ii): Membuktikan bahwa: sigma r=1 n 1/r(r+2) = n(3n+5)/4(n+1)(n+2)

Ini adalah soal yang menarik karena kesimpulan akhirnya tidak sesuai dengan dekomposisi pecahan parsial yang kita dapatkan di bagian (i). Mari kita periksa kembali soalnya atau ada kemungkinan kesalahpahaman dalam penulisan soal.

Namun, jika kita mengikuti dekomposisi pecahan parsial dari bagian (i), maka:
sigma r=1 n [ (1/2)/r - (1/2)/(r+2) ]
= (1/2) * sigma r=1 n [ 1/r - 1/(r+2) ]
Ini adalah deret teleskopik. Mari kita jabarkan beberapa suku pertama:
Untuk r=1: 1/1 - 1/3
Untuk r=2: 1/2 - 1/4
Untuk r=3: 1/3 - 1/5
Untuk r=4: 1/4 - 1/6
...
Untuk r=n-1: 1/(n-1) - 1/(n+1)
Untuk r=n: 1/n - 1/(n+2)

Ketika dijumlahkan, suku -1/3 akan saling menghilangkan dengan +1/3, -1/4 dengan +1/4, dan seterusnya. Suku yang tersisa adalah:
(1/2) * [ 1/1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2) ]
= (1/2) * [ 3/2 - ( (n+2) + (n+1) ) / (n+1)(n+2) ]
= (1/2) * [ 3/2 - (2n+3) / (n+1)(n+2) ]
= (1/2) * [ (3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)) / 2(n+1)(n+2) ]
= (1/4) * [ 3(n^2 + 3n + 2) - 4n - 6 ] / (n+1)(n+2)
= (1/4) * [ 3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6 ] / (n+1)(n+2)
= (1/4) * [ 3n^2 + 5n ] / (n+1)(n+2)
= n(3n+5) / 4(n+1)(n+2)

Jadi, pembuktiannya benar berdasarkan dekomposisi pecahan parsial yang dilakukan.