Persamaan dalam y yang akar-akarnya "tiga kali" akar-akar

y^3 - 171y - 810 = 0

Pembahasan

Misalkan akar-akar dari persamaan x^3 - 19x - 30 = 0 adalah \u03b1, \u03b2, dan \u03b3. Menurut teorema Vieta, kita memiliki:
\u03b1 + \u03b2 + \u03b3 = - (koefisien x^2) / (koefisien x^3) = -0 / 1 = 0
\u03b1\u03b2 + \u03b1\u03b3 + \u03b2\u03b3 = (koefisien x) / (koefisien x^3) = -19 / 1 = -19
\u03b1\u03b2\u03b3 = - (konstanta) / (koefisien x^3) = -(-30) / 1 = 30

Kita ingin mencari persamaan baru yang akar-akarnya adalah 3\u03b1, 3\u03b2, dan 3\u03b3. Misalkan akar-akar baru ini adalah \u03b1', \u03b2', dan \u03b3'. Jadi, \u03b1' = 3\u03b1, \u03b2' = 3\u03b2, \u03b3' = 3\u03b3.

Persamaan baru dalam y adalah y^3 - (\u03b1' + \u03b2' + \u03b3')y^2 + (\u03b1'\u03b2' + \u03b1'\u03b3' + \u03b2'\u03b3')y - (\u03b1'\u03b2'\u03b3') = 0

Mari kita hitung koefisiennya:
1. Jumlah akar-akar baru:
\u03b1' + \u03b2' + \u03b3' = 3\u03b1 + 3\u03b2 + 3\u03b3 = 3(\u03b1 + \u03b2 + \u03b3) = 3(0) = 0

2. Jumlah perkalian dua akar-akar baru:
\u03b1'\u03b2' + \u03b1'\u03b3' + \u03b2'\u03b3' = (3\u03b1)(3\u03b2) + (3\u03b1)(3\u03b3) + (3\u03b2)(3\u03b3)
= 9\u03b1\u03b2 + 9\u03b1\u03b3 + 9\u03b2\u03b3
= 9(\u03b1\u03b2 + \u03b1\u03b3 + \u03b2\u03b3)
= 9(-19)
= -171

3. Perkalian akar-akar baru:
\u03b1'\u03b2'\u03b3' = (3\u03b1)(3\u03b2)(3\u03b3)
= 27\u03b1\u03b2\u03b3
= 27(30)
= 810

Jadi, persamaan baru dalam y adalah:
y^3 - (0)y^2 + (-171)y - (810) = 0
y^3 - 171y - 810 = 0

Cara alternatif: Jika y adalah akar baru, maka y = 3x, atau x = y/3. Substitusikan x = y/3 ke dalam persamaan asli:
(y/3)^3 - 19(y/3) - 30 = 0
y^3/27 - 19y/3 - 30 = 0
Kalikan seluruh persamaan dengan 27 untuk menghilangkan penyebut:
27 * (y^3/27) - 27 * (19y/3) - 27 * 30 = 0
y^3 - 9 * 19y - 810 = 0
y^3 - 171y - 810 = 0