Tuliskan integral yang menunjukkan luas daerah yang

Integral yang menunjukkan luas daerah adalah ∫[dari 0 sampai 1] (1 - x^2) dx + ∫[dari 1 sampai 2] (x^2 - 1) dx.

Pembahasan

Untuk menentukan integral yang menunjukkan luas daerah yang diarsir pada gambar, kita perlu mengidentifikasi fungsi yang membentuk batas atas dan batas-batas integral (batas bawah dan batas atas).

Dari gambar, kita melihat bahwa daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva y = x^2 - 1 dan sumbu x. Sumbu x memiliki persamaan y = 0.

Langkah pertama adalah mencari titik potong antara kurva y = x^2 - 1 dan sumbu x (y=0). Kita atur persamaan menjadi:
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = ±1

Ini berarti kurva memotong sumbu x di x = -1 dan x = 1. Namun, gambar menunjukkan daerah yang diarsir berada di antara x = 0 dan x = 2, dan daerah tersebut berada di bawah sumbu x untuk sebagian rentang tersebut.

Perhatikan bahwa kurva y = x^2 - 1 berada di bawah sumbu x (y=0) ketika -1 < x < 1. Di luar rentang ini (x < -1 atau x > 1), kurva berada di atas sumbu x.

Dalam rentang x dari 0 hingga 2, daerah yang diarsir tampaknya dibatasi oleh:
1. Sumbu x (y=0) sebagai batas atas.
2. Kurva y = x^2 - 1 sebagai batas bawah.

Namun, perlu diperhatikan bahwa pada interval [0, 1), nilai y = x^2 - 1 adalah negatif, dan pada interval (1, 2], nilai y = x^2 - 1 adalah positif.

Jika yang dimaksud dengan daerah yang diraster adalah area antara kurva y = x^2 - 1 dan sumbu x dari x=0 sampai x=2, maka kita perlu memecah integral karena kurva berada di bawah sumbu x pada [0, 1) dan di atas sumbu x pada (1, 2].

Luas = Integral dari |f(x)| dx.

Integral yang menunjukkan luas daerah yang diraster dari x=0 hingga x=2 adalah:

Luas = ∫[dari 0 sampai 2] |x^2 - 1| dx

Kita bisa memecahnya menjadi dua integral:
Luas = ∫[dari 0 sampai 1] -(x^2 - 1) dx + ∫[dari 1 sampai 2] (x^2 - 1) dx
Luas = ∫[dari 0 sampai 1] (1 - x^2) dx + ∫[dari 1 sampai 2] (x^2 - 1) dx

Jika gambar hanya menunjukkan daerah di bawah sumbu x antara x=0 dan x=1, maka integralnya adalah ∫[dari 0 sampai 1] -(x^2 - 1) dx.

Jika gambar menunjukkan daerah di atas sumbu x antara x=1 dan x=2, maka integralnya adalah ∫[dari 1 sampai 2] (x^2 - 1) dx.

Berdasarkan deskripsi "daerah yang diraster pada gambar berikut. y = x^2 -1 Y 0 2 X", dan asumsi bahwa raster mencakup area di mana y negatif (di bawah sumbu x) dan positif (di atas sumbu x) dalam rentang yang diberikan, maka integral yang paling tepat untuk luas total adalah:
∫[dari 0 sampai 1] (1 - x^2) dx + ∫[dari 1 sampai 2] (x^2 - 1) dx