Turunan fungsi f(x)=(2x^2+3)^5(2x-3)^4 adalah f'(x)=...

f'(x) = 4(2x^2 + 3)^4 (2x - 3)^3 (14x^2 - 15x + 6).

Pembahasan

Untuk mencari turunan dari fungsi f(x) = (2x^2 + 3)^5 (2x - 3)^4, kita akan menggunakan aturan perkalian (product rule) dan aturan rantai (chain rule).

Aturan Perkalian: Jika f(x) = u(x)v(x), maka f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Misalkan u(x) = (2x^2 + 3)^5 dan v(x) = (2x - 3)^4.

Langkah 1: Cari turunan dari u(x) menggunakan aturan rantai.
u'(x) = 5 * (2x^2 + 3)^(5-1) * d/dx(2x^2 + 3)
u'(x) = 5 * (2x^2 + 3)^4 * (4x)
u'(x) = 20x(2x^2 + 3)^4

Langkah 2: Cari turunan dari v(x) menggunakan aturan rantai.
v'(x) = 4 * (2x - 3)^(4-1) * d/dx(2x - 3)
v'(x) = 4 * (2x - 3)^3 * (2)
v'(x) = 8(2x - 3)^3

Langkah 3: Terapkan aturan perkalian.
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
f'(x) = [20x(2x^2 + 3)^4] * [(2x - 3)^4] + [(2x^2 + 3)^5] * [8(2x - 3)^3]

Langkah 4: Faktorkan suku yang sama.
Kita bisa memfaktorkan (2x^2 + 3)^4 dan (2x - 3)^3.

f'(x) = (2x^2 + 3)^4 (2x - 3)^3 [20x(2x - 3) + 8(2x^2 + 3)]

Langkah 5: Sederhanakan ekspresi di dalam kurung siku.
20x(2x - 3) = 40x^2 - 60x
8(2x^2 + 3) = 16x^2 + 24

Jumlahkan keduanya:
(40x^2 - 60x) + (16x^2 + 24) = 56x^2 - 60x + 24

Langkah 6: Tuliskan hasil akhir turunan.
f'(x) = (2x^2 + 3)^4 (2x - 3)^3 (56x^2 - 60x + 24)

Kita bisa memfaktorkan 4 dari ekspresi terakhir:
56x^2 - 60x + 24 = 4(14x^2 - 15x + 6)

Jadi, turunan fungsi f(x) adalah:
f'(x) = 4(2x^2 + 3)^4 (2x - 3)^3 (14x^2 - 15x + 6)