Ubahlah notasi sigma berikut menjadi notasi sigma dengan

Notasi sigma yang setara dengan batas atas 12 adalah $\sum_{j=10}^{12} (23 - 2j)$.

Pembahasan

Notasi sigma yang diberikan adalah: 
$$ \sum_{k=1}^{3} (5-2k) $$ 

Kita ingin mengubah notasi sigma ini agar memiliki batas atas 12. Untuk melakukan ini, kita perlu melakukan substitusi variabel.

Misalkan j = k. Kita ingin batas atas baru adalah 12. Jadi, kita perlu menyesuaikan indeks.

Cara yang lebih umum adalah dengan substitusi yang mengubah batasnya. Misalkan kita ingin batas atas menjadi 12. Kita bisa menggunakan substitusi yang mengubah k menjadi sesuatu yang berakhir di 12.

Namun, jika kita hanya ingin "mengubah notasi" tanpa mengubah nilai penjumlahannya, ini bisa diartikan sebagai mengekspresikan ulang deret tersebut dengan cara yang berbeda. Jika maksudnya adalah untuk memiliki 12 suku, kita perlu mengubah batas bawah dan ekspresi.

Mari kita asumsikan maksudnya adalah untuk mengubah batas atas dari 3 menjadi 12, yang berarti kita perlu menambahkan suku-suku tambahan dan menyesuaikan indeksnya.

Cara yang benar untuk mengubah batas atas adalah dengan memanipulasi indeks. Jika kita ingin batas atas menjadi 12, kita bisa mengganti k dengan ekspresi yang berhubungan dengan indeks baru.

Misalkan indeks baru adalah j. Kita ingin batas atas j adalah 12. Kita punya k dari 1 sampai 3.

Mari kita evaluasi deret asli terlebih dahulu:
Untuk k=1: 5 - 2(1) = 3
Untuk k=2: 5 - 2(2) = 1
Untuk k=3: 5 - 2(3) = -1
Jumlahnya adalah 3 + 1 + (-1) = 3.

Sekarang, jika kita ingin batas atas menjadi 12, kita perlu menentukan bagaimana kita ingin deret tersebut berlanjut. Jika kita mengasumsikan pola deret berlanjut, maka kita perlu menentukan bentuk baru yang sama dengan deret asli tetapi dengan batas atas 12.

Jika maksud soal adalah untuk mengekspresikan ulang deret dengan batas atas 12 dengan cara yang mempertahankan nilai yang sama, ini tidak mungkin tanpa mengubah ekspresi atau menambahkan suku-suku yang jumlahnya nol.

Namun, jika maksudnya adalah untuk mengubah batas atas dari 3 menjadi 12 dengan menyesuaikan indeks, kita bisa melakukan substitusi.
Misalkan kita ingin indeks baru, katakanlah `m`, sehingga batas atas `m` adalah 12. Kita dapat mendefinisikan hubungan antara `k` dan `m`.

Jika kita ingin batas atas menjadi 12, dan kita mulai dari batas bawah tertentu, kita perlu menyesuaikan ekspresi.

Contoh: Jika kita ingin batas atas menjadi 12 dan batas bawah tetap 1, kita perlu 12 suku. Deret asli hanya memiliki 3 suku. Ini berarti kita perlu menambahkan 9 suku.

Mari kita perhatikan soal ini lagi: "Ubahlah notasi sigma berikut menjadi notasi sigma dengan batas atas 12." Ini biasanya berarti kita perlu melakukan substitusi variabel untuk mengubah batasnya.

Misalkan kita ingin batas atas menjadi 12. Kita bisa mengganti variabel `k` dengan ekspresi yang melibatkan variabel baru, katakanlah `j`, sehingga ketika `j` mencapai 12, ekspresi tersebut sesuai.

Cara yang lebih umum untuk mengubah batas adalah sebagai berikut:
Misalkan kita memiliki notasi sigma 
$$ \sum_{k=a}^{b} f(k) $$ 
Kita ingin mengubah batas atas menjadi `B`. Kita bisa menggunakan substitusi `k = g(j)`. Maka batas bawah `a` menjadi `g(j_a) = a` dan batas atas `b` menjadi `g(j_b) = b`. Dengan cara ini, notasi sigma menjadi 
$$ \sum_{j=j_a}^{j_b} f(g(j)) \cdot g'(j) $$ (ini untuk integral).

Untuk penjumlahan, jika kita ingin batas atas menjadi 12, kita bisa menggunakan substitusi.

Misalkan kita ingin indeks baru `j` memiliki batas atas 12. Dan kita ingin batas bawah baru `j_0`.

Jika kita tetap menggunakan bentuk 
$$ \sum_{j=j_{start}}^{12} ... $$ 
Kita perlu menentukan hubungan antara `k` dan `j`.

Misalkan kita ingin batas atas menjadi 12. Kita bisa menggunakan substitusi:
Misalkan `k = j - c`.
Jika batas atas `k=3` menjadi `j=12`, maka `3 = 12 - c`, sehingga `c = 9`.
Jika batas bawah `k=1` menjadi `j`, maka `1 = j - 9`, sehingga `j = 10`.

Dengan substitusi `k = j - 9`:
Batas bawah: `j = 1 + 9 = 10`.
Batas atas: `j = 3 + 9 = 12`.
Ekspresi menjadi `5 - 2(j - 9) = 5 - 2j + 18 = 23 - 2j`.

Maka, notasi sigma yang baru adalah:
$$ \sum_{j=10}^{12} (23 - 2j) $$

Mari kita verifikasi:
Untuk j=10: 23 - 2(10) = 23 - 20 = 3
Untuk j=11: 23 - 2(11) = 23 - 22 = 1
Untuk j=12: 23 - 2(12) = 23 - 24 = -1

Jumlahnya adalah 3 + 1 + (-1) = 3, yang sama dengan deret asli.

Jawaban:
Notasi sigma dapat diubah menjadi notasi sigma dengan batas atas 12 menggunakan substitusi variabel. Jika kita menggunakan substitusi `k = j - 9`, maka batas bawah berubah dari 1 menjadi 10, dan batas atas berubah dari 3 menjadi 12. Ekspresi `(5-2k)` menjadi `(5 - 2(j - 9)) = (5 - 2j + 18) = (23 - 2j)`.

Maka, notasi sigma yang setara dengan batas atas 12 adalah:
$$ \sum_{j=10}^{12} (23 - 2j) $$