Untuk x=/=0, fungsi dengan persamaan y=x^7+x^3+1 akan ....

Selalu naik

Pembahasan

Fungsi yang diberikan adalah y = x^7 + x^3 + 1, dengan syarat x ≠ 0.

Untuk menganalisis perilaku fungsi ini, kita bisa melihat turunan pertamanya untuk menentukan apakah fungsi tersebut naik atau turun.

Turunan pertama fungsi y terhadap x adalah:
dy/dx = d/dx (x^7 + x^3 + 1)
dy/dx = 7x^6 + 3x^2

Sekarang kita analisis tanda dari dy/dx:
- Suku 7x^6: Karena pangkatnya genap (6), maka x^6 akan selalu non-negatif (≥ 0) untuk setiap nilai x real. Oleh karena itu, 7x^6 juga akan selalu non-negatif.
- Suku 3x^2: Karena pangkatnya genap (2), maka x^2 akan selalu non-negatif (≥ 0) untuk setiap nilai x real. Oleh karena itu, 3x^2 juga akan selalu non-negatif.

Karena dy/dx adalah jumlah dari dua suku yang selalu non-negatif (7x^6 ≥ 0 dan 3x^2 ≥ 0), maka dy/dx akan selalu non-negatif (≥ 0).

Lebih spesifik lagi, karena x ≠ 0, maka x^6 > 0 dan x^2 > 0. Ini berarti 7x^6 > 0 dan 3x^2 > 0. 

Jadi, untuk x ≠ 0, dy/dx = 7x^6 + 3x^2 akan selalu bernilai positif (> 0).

Jika turunan pertama suatu fungsi selalu positif, maka fungsi tersebut selalu naik.

Oleh karena itu, fungsi y = x^7 + x^3 + 1 untuk x ≠ 0 akan selalu naik.