2n + 1 C 2 = 3 x n P 2

n = 4

Pembahasan

Kita diberikan persamaan \(C(2n+1, 2) = 3 \times P(n, 2)\).
Pertama, kita uraikan kedua sisi persamaan menggunakan definisi kombinasi dan permutasi:

Untuk sisi kiri: \(C(2n+1, 2) = \frac{(2n+1)!}{2!(2n+1-2)!} = \frac{(2n+1)!}{2!(2n-1)!} = \frac{(2n+1)(2n)}{2} = (2n+1)n = 2n^2 + n\).

Untuk sisi kanan: \(P(n, 2) = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1) = n^2 - n\).

Sekarang kita substitusikan kembali ke persamaan awal:
\(2n^2 + n = 3 \times (n^2 - n)\)
\(2n^2 + n = 3n^2 - 3n\)

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
\(0 = 3n^2 - 2n^2 - 3n - n\)
\(0 = n^2 - 4n\)

Faktorkan persamaan kuadrat:
\(0 = n(n - 4)\)

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk n:
\(n = 0\) atau \(n - 4 = 0 \Rightarrow n = 4\).

Namun, dalam konteks permutasi \(P(n, 2)\), nilai n harus lebih besar atau sama dengan 2 (karena kita mengambil 2 elemen dari n). Oleh karena itu, \(n = 0\) tidak valid.

Jadi, satu-satunya solusi yang valid adalah \(n = 4\).