3,17,35,65,99,145, ...

195

Pembahasan

Untuk menentukan pola dari barisan bilangan 3, 17, 35, 65, 99, 145, ..., kita perlu mencari perbedaan antara suku-suku yang berurutan:
17 - 3 = 14
35 - 17 = 18
65 - 35 = 30
99 - 65 = 34
145 - 99 = 46

Karena perbedaan pertama tidak konstan, kita cari perbedaan kedua:
18 - 14 = 4
30 - 18 = 12
34 - 30 = 4
46 - 34 = 12

Perbedaan kedua juga tidak konstan, namun terlihat ada pola (4, 12, 4, 12). Ini menunjukkan bahwa barisan ini kemungkinan adalah barisan aritmatika tingkat ketiga atau memiliki pola yang lebih kompleks. 

Mari kita coba mencari pola lain. Perhatikan suku-suku tersebut:
U1 = 3
U2 = 17
U3 = 35
U4 = 65
U5 = 99
U6 = 145

Jika kita coba hubungkan dengan pola kuadratik atau kubik:
Perhatikan Un = n^2 + 2n + k atau pola sejenis.
Mari kita coba dengan pola An^2 + Bn + C.
Untuk n=1: A + B + C = 3
Untuk n=2: 4A + 2B + C = 17
Untuk n=3: 9A + 3B + C = 35

(2) - (1): 3A + B = 14
(3) - (2): 5A + B = 18

(5) - (4): 2A = 4 => A = 2
Substitusi A=2 ke (4): 3(2) + B = 14 => 6 + B = 14 => B = 8
Substitusi A=2, B=8 ke (1): 2 + 8 + C = 3 => 10 + C = 3 => C = -7

Jadi, pola Un = 2n^2 + 8n - 7.
Mari kita cek:
U1 = 2(1)^2 + 8(1) - 7 = 2 + 8 - 7 = 3 (Benar)
U2 = 2(2)^2 + 8(2) - 7 = 2(4) + 16 - 7 = 8 + 16 - 7 = 17 (Benar)
U3 = 2(3)^2 + 8(3) - 7 = 2(9) + 24 - 7 = 18 + 24 - 7 = 35 (Benar)
U4 = 2(4)^2 + 8(4) - 7 = 2(16) + 32 - 7 = 32 + 32 - 7 = 57 (Salah! Seharusnya 65)

Kesalahan dalam asumsi pola. Mari kita perhatikan kembali perbedaan tingkat kedua:
4, 12, 4, 12. Ini adalah pola berulang.
Ini mengindikasikan bahwa suku-suku tertentu mungkin memiliki perbedaan yang berbeda.

Mari kita coba pola lain: Un = (n+a)(n+b) + c
Atau pola Un = n(n+k) + m.

Mari kita coba pola yang melibatkan perkalian:

Perhatikan suku-suku: 3, 17, 35, 65, 99, 145
Perbedaan: 14, 18, 30, 34, 46
Perbedaan kedua: 4, 12, 4, 12

Jika kita perhatikan pola perbedaan kedua (4, 12, 4, 12), ini menunjukkan bahwa penambahan ke suku berikutnya tidak linier tetapi bergantian polanya.

Misalnya, kita bisa melihat pola seperti ini:
U1 = 3
U2 = U1 + 14 = 3 + 14 = 17
U3 = U2 + 18 = 17 + 18 = 35
U4 = U3 + 30 = 35 + 30 = 65
U5 = U4 + 34 = 65 + 34 = 99
U6 = U5 + 46 = 99 + 46 = 145

Perbedaan penambahannya: 14, 18, 30, 34, 46.
Perbedaan antar penambahan: 4, 12, 4, 12.

Pola penambahan adalah sebagai berikut:
Penambahan ke-1: 14
Penambahan ke-2: 14 + 4 = 18
Penambahan ke-3: 18 + 12 = 30
Penambahan ke-4: 30 + 4 = 34
Penambahan ke-5: 34 + 12 = 46

Jadi, penambahan berikutnya adalah 46 + 4 = 50.
Suku berikutnya (U7) = U6 + 50 = 145 + 50 = 195.

Pola tersebut merupakan deret aritmatika bertingkat dengan pola perbedaan tingkat kedua yang berulang (4, 12).
Untuk menemukan suku ke-n, kita dapat menggunakan rumus yang lebih kompleks atau mengidentifikasi pola secara langsung.

Jika kita coba cari rumus eksplisit dari pola perbedaan tingkat kedua yang berulang, kita bisa menganggap ini sebagai gabungan dua deret aritmatika atau menggunakan konsep barisan rekursif.

Misalnya, kita dapat melihat pola suku-suku sebagai berikut:
3 = 1*3
17 = ?
35 = 5*7
65 = 5*13
99 = 9*11
145 = 5*29

Ini tidak memberikan pola yang jelas.

Mari kita fokus pada perbedaan berulang: +4, +12, +4, +12.
Penambahan untuk suku ke-n (Pn):
P1 = 14
P2 = P1 + 4 = 18
P3 = P2 + 12 = 30
P4 = P3 + 4 = 34
P5 = P4 + 12 = 46
P6 = P5 + 4 = 50 (Suku ke-7)

Suku ke-n (Un):
U1 = 3
U2 = U1 + P1 = 3 + 14 = 17
U3 = U2 + P2 = 17 + 18 = 35
U4 = U3 + P3 = 35 + 30 = 65
U5 = U4 + P4 = 65 + 34 = 99
U6 = U5 + P5 = 99 + 46 = 145
U7 = U6 + P6 = 145 + 50 = 195

Jadi, suku berikutnya dalam barisan adalah 195.