(a) integral ((akar(x)+1)^2)/akar(x) dx=... (b) integral (x

Hasil integral (a) adalah (2/3)x^(3/2) + 2x + 2x^(1/2) + C, dan hasil integral (b) adalah (1/4)x^4 - 2x - 1/x^2 + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal integral ini, kita akan memecahnya menjadi dua bagian:

Bagian (a): integral ((akar(x)+1)^2)/akar(x) dx
Pertama, kita jabarkan bentuk (akar(x)+1)^2:
(akar(x)+1)^2 = (akar(x))^2 + 2*akar(x)*1 + 1^2 = x + 2*akar(x) + 1

Selanjutnya, bagi setiap suku dengan akar(x):
(x + 2*akar(x) + 1) / akar(x) = x/akar(x) + 2*akar(x)/akar(x) + 1/akar(x)
= akar(x) + 2 + 1/akar(x)
= x^(1/2) + 2 + x^(-1/2)

Sekarang kita integralkan:
integral (x^(1/2) + 2 + x^(-1/2)) dx
= (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + 2x + (x^(-1/2 + 1))/(-1/2 + 1) + C
= (x^(3/2))/(3/2) + 2x + (x^(1/2))/(1/2) + C
= (2/3)x^(3/2) + 2x + 2x^(1/2) + C

Bagian (b): integral (x akar(x)-1/(x akar(x))^2 dx
Kita ubah bentuk x akar(x) menjadi x * x^(1/2) = x^(3/2)
Jadi, ekspresinya adalah (x^(3/2) - 1/x^(3/2))^2

Jabarkan kuadratnya:
(x^(3/2) - x^(-3/2))^2 = (x^(3/2))^2 - 2*(x^(3/2))*(x^(-3/2)) + (x^(-3/2))^2
= x^3 - 2*x^0 + x^(-3)
= x^3 - 2 + x^(-3)

Sekarang kita integralkan:
integral (x^3 - 2 + x^(-3)) dx
= (x^(3+1))/(3+1) - 2x + (x^(-3+1))/(-3+1) + C
= (x^4)/4 - 2x + (x^(-2))/(-2) + C
= (1/4)x^4 - 2x - (1/2)x^(-2) + C
= (1/4)x^4 - 2x - 2/(2x^2) + C
= (1/4)x^4 - 2x - 1/x^2 + C

Jadi, hasil integralnya adalah:
(a) (2/3)x^(3/2) + 2x + 2x^(1/2) + C
(b) (1/4)x^4 - 2x - 1/x^2 + C