Rasionalkan:

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{15}}{3}$

Pembahasan

Untuk merasionalkan penyebut pecahan $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut. Konjugat dari $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ adalah $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$.

 Pembilang: $(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$
 $= ((\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{3})((\sqrt{2}+\sqrt{5})+\sqrt{3})$
 $= (\sqrt{2}+\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2$
 $= (2 + 5 + 2\sqrt{10}) - 3$
 $= 7 + 2\sqrt{10} - 3$
 $= 4 + 2\sqrt{10}$

 Penyebut: $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})$
 $= ((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5})$
 $= (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2$
 $= (2 + 3 + 2\sqrt{6}) - 5$
 $= 5 + 2\sqrt{6} - 5$
 $= 2\sqrt{6}$

 Maka, rasionalkan pecahannya menjadi:
 $\frac{4 + 2\sqrt{10}}{2\sqrt{6}} = \frac{2(2 + \sqrt{10})}{2\sqrt{6}} = \frac{2 + \sqrt{10}}{\sqrt{6}}$

 Sekarang, kita rasionalkan lagi dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{6}$:
 $\frac{(2 + \sqrt{10})\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6} + \sqrt{60}}{6}
 $= \frac{2\sqrt{6} + \sqrt{4 \times 15}}{6}
 $= \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{15}}{6}
 $= \frac{2(\sqrt{6} + \sqrt{15})}{6}
 $= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{15}}{3}$