ABC adalah segitiga dengan sudut A=90, AN tegak lurus BC,

Perbandingan luas segitiga ANC dan segitiga ABC adalah 25:144.

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dengan AN tegak lurus BC. Diketahui panjang BC = 12 cm dan AC = 5 cm.

Karena segitiga ABC siku-siku di A, kita dapat mencari panjang AB menggunakan teorema Pythagoras:
AB² + AC² = BC²
AB² + 5² = 12²
AB² + 25 = 144
AB² = 144 - 25
AB² = 119
AB = √119 cm

Selanjutnya, kita perlu mencari luas segitiga ABC. Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan:
Luas ΔABC = ½ × alas × tinggi = ½ × AB × AC = ½ × √119 × 5 = (5√119)/2 cm²

Untuk mencari luas segitiga ANC, kita perlu panjang alas NC dan tinggi AN.
Karena AN tegak lurus BC, AN adalah tinggi segitiga ABC terhadap alas BC. Luas segitiga ABC juga dapat dihitung dengan:
Luas ΔABC = ½ × BC × AN
(5√119)/2 = ½ × 12 × AN
(5√119)/2 = 6 × AN
AN = (5√119)/12 cm

Sekarang kita cari panjang NC menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ANC (siku-siku di N):
AN² + NC² = AC²
((5√119)/12)² + NC² = 5²
(25 × 119)/144 + NC² = 25
2975/144 + NC² = 25
NC² = 25 - 2975/144
NC² = (25 × 144 - 2975)/144
NC² = (3600 - 2975)/144
NC² = 625/144
NC = √(625/144) = 25/12 cm

Luas segitiga ANC = ½ × alas × tinggi = ½ × NC × AN
Luas ΔANC = ½ × (25/12) × (5√119)/12
Luas ΔANC = (125√119)/288 cm²

Perbandingan luas segitiga ANC dan segitiga ABC adalah:
Luas ΔANC / Luas ΔABC = [(125√119)/288] / [(5√119)/2]
= (125√119)/288 × 2/(5√119)
= (125 × 2) / (288 × 5)
= 250 / 1440
= 25 / 144

Perbandingan lain yang lebih cepat: Karena segitiga ABC dan ANC memiliki tinggi yang sama (AN) jika alasnya BC dan NC, atau memiliki alas yang sama (AC dan AB) jika tingginya diukur dari B dan C ke AN (ini tidak benar), kita bisa melihat dari sudut pandang alas dan tinggi yang berbeda. Segitiga ABC dan ANC sama-sama memiliki sudut di C. Perbandingan luas dua segitiga yang memiliki satu sudut sama adalah perbandingan hasil kali sisi-sisi yang membentuk sudut tersebut.

Luas ΔANC / Luas ΔABC = (½ × AC × NC) / (½ × AC × BC)  -> Ini salah, harusnya luas ANC = 1/2 * NC * AN dan luas ABC = 1/2 * BC * AN

Mari kita gunakan properti kesamaan luas berdasarkan alas dan tinggi yang sama:
Luas ΔANC = ½ × NC × AN
Luas ΔABC = ½ × BC × AN

Perbandingan Luas ΔANC : Luas ΔABC = (½ × NC × AN) : (½ × BC × AN)
Perbandingan = NC : BC

Kita sudah hitung NC = 25/12 cm dan BC = 12 cm.

Perbandingan = (25/12) : 12
= 25 : (12 × 12)
= 25 : 144

Jadi, perbandingan luas segitiga ANC dan segitiga ABC adalah 25:144.