ABC adalah segitiga sama sisi. PQR adalah segitiga kedua

Keliling: 3a/512, Luas: a^2√3 / 1048576

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan barisan segitiga sama sisi yang dibentuk secara berulang dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi segitiga sebelumnya.

Misalkan:
- Segitiga pertama adalah ABC, dengan panjang sisi = a.
- Segitiga kedua adalah PQR, dibentuk dengan menghubungkan titik-titik tengah ABC.
- Segitiga ketiga adalah KLM, dibentuk dengan menghubungkan titik-titik tengah PQR, dan seterusnya.

Setiap segitiga baru yang dibentuk dengan menghubungkan titik-titik tengah segitiga sebelumnya akan memiliki panjang sisi setengah dari segitiga induknya.

Jadi, barisan panjang sisi segitiga adalah:
a, a/2, a/4, a/8, ...
Ini adalah barisan geometri dengan suku pertama (a1) = a dan rasio (r) = 1/2.

a) Keliling segitiga sama sisi ke-10:
Keliling segitiga sama sisi adalah 3 kali panjang sisinya.
Panjang sisi segitiga ke-n (an) dapat dihitung menggunakan rumus barisan geometri: an = a1 * r^(n-1).
Untuk segitiga ke-10 (n=10):
a10 = a * (1/2)^(10-1)
a10 = a * (1/2)^9
a10 = a * (1/512)
a10 = a/512

Keliling segitiga ke-10 (K10) = 3 * a10
K10 = 3 * (a/512)
K10 = 3a/512

b) Luas segitiga sama sisi ke-10:
Luas segitiga sama sisi dengan sisi 's' adalah (s^2 * √3) / 4.
Luas segitiga ke-10 (L10) = (a10^2 * √3) / 4
L10 = ((a/512)^2 * √3) / 4
L10 = (a^2 / 512^2 * √3) / 4
L10 = (a^2 / 262144 * √3) / 4
L10 = a^2√3 / (262144 * 4)
L10 = a^2√3 / 1048576

Jadi, keliling segitiga sama sisi ke-10 adalah 3a/512, dan luasnya adalah a^2√3 / 1048576.