Adi dan empat orang temannya masingmasing memiliki peluang

Peluang 3 orang lolos tes adalah \(\frac{144}{625}\).

Pembahasan

Ini adalah masalah probabilitas yang dapat diselesaikan menggunakan distribusi binomial.

Diketahui:
Probabilitas seorang lolos tes (sukses), \(p = \frac{2}{5}\).
Probabilitas seorang tidak lolos tes (gagal), \(q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\).
Jumlah percobaan (orang), \(n = 5\) (Adi dan empat temannya).
Kita ingin mencari peluang tepat 3 orang lolos tes, sehingga \(k = 3\).

Rumus distribusi binomial adalah: \(P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}\),
di mana \(C(n, k)\) adalah koefisien binomial, yang dihitung sebagai \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Mari kita hitung \(C(5, 3)\):
\(C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10\).

Sekarang, hitung \(p^k\) dan \(q^{n-k}\):
\(p^3 = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}\).
\(q^{5-3} = q^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}\).

Masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus distribusi binomial:
\(P(X=3) = C(5, 3) \cdot p^3 \cdot q^2\)
\(P(X=3) = 10 \cdot \frac{8}{125} \cdot \frac{9}{25}\)
\(P(X=3) = \frac{10 \times 8 \times 9}{125 \times 25}\)
\(P(X=3) = \frac{720}{3125}\).

Kita bisa menyederhanakan pecahan ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan faktor persekutuan terbesar mereka. Kedua angka dapat dibagi 5:
\(\frac{720 \div 5}{3125 \div 5} = \frac{144}{625}\).

Jadi, peluang 3 orang lolos tes adalah \(\frac{144}{625}\).