Agar parabola y=ax^2+2x dan y=x-a selalu berpotongan di dua

-1/2 < a < 1/2, a ≠ 0

Pembahasan

Agar parabola y = ax^2 + 2x dan y = x - a selalu berpotongan di dua titik berbeda, maka kedua persamaan tersebut harus memiliki dua solusi unik ketika disamakan.

Samakan kedua persamaan:
ax^2 + 2x = x - a
ax^2 + 2x - x + a = 0
ax^2 + x + a = 0

Agar persamaan kuadrat ini memiliki dua solusi berbeda, diskriminan (D) harus lebih besar dari nol (D > 0).
Diskriminan (D) = b^2 - 4ac
Dalam persamaan ax^2 + x + a = 0, kita punya:
a = a
b = 1
c = a

D = (1)^2 - 4(a)(a)
D = 1 - 4a^2

Syarat agar berpotongan di dua titik berbeda adalah D > 0:
1 - 4a^2 > 0
1 > 4a^2
4a^2 < 1
a^2 < 1/4

Untuk menyelesaikan ketidaksamaan kuadrat ini, kita cari akar-akarnya:
a^2 = 1/4
a = ±√(1/4)
a = ±1/2

Karena ini adalah ketidaksamaan kuadrat (a^2 < 1/4), maka nilai 'a' berada di antara akar-akarnya.
Jadi, -1/2 < a < 1/2.

Selain itu, agar persamaan tersebut benar-benar merupakan parabola, koefisien x^2 (yaitu 'a') tidak boleh nol. Jika a = 0, maka persamaan menjadi y = 2x (garis) dan y = x (garis), yang hanya berpotongan di satu titik (0,0).

Jadi, agar parabola y=ax^2+2x dan y=x-a selalu berpotongan di dua titik berbeda, maka -1/2 < a < 1/2 dan a ≠ 0.