Agar pernyataan mx^2-(m+1) x+(m+1)>0 selalu benar untuk

Nilai m yang memenuhi adalah m > 1/3.

Pembahasan

Agar pernyataan $mx^2-(m+1)x+(m+1)>0$ selalu benar untuk setiap $x$ anggota himpunan bilangan real, maka fungsi kuadrat ini harus memiliki syarat:
1. Koefisien $x^2$ (yaitu $m$) harus positif, agar parabola terbuka ke atas.
2. Diskriminan (D) harus negatif, agar parabola tidak memotong sumbu x (memiliki akar imajiner).

Syarat 1: $m > 0$

Syarat 2: Diskriminan $D < 0$
Diskriminan dihitung dengan rumus $D = b^2 - 4ac$. Dalam kasus ini, $a=m$, $b=-(m+1)$, dan $c=m+1$.
$D = (-(m+1))^2 - 4(m)(m+1)$
$D = (m+1)^2 - 4m(m+1)$
$D = (m^2 + 2m + 1) - (4m^2 + 4m)$
$D = m^2 + 2m + 1 - 4m^2 - 4m$
$D = -3m^2 - 2m + 1$

Sekarang kita terapkan syarat $D < 0$:
$-3m^2 - 2m + 1 < 0$
Untuk memudahkan, kita kalikan dengan -1 dan balik tanda ketidaksamaannya:
$3m^2 + 2m - 1 > 0$

Kita cari akar-akar dari persamaan $3m^2 + 2m - 1 = 0$ dengan faktorisasi:
$(3m - 1)(m + 1) = 0$
Maka, akar-akarnya adalah $m = 1/3$ atau $m = -1$.

Karena ketidaksamaan adalah $3m^2 + 2m - 1 > 0$ (parabola terbuka ke atas dan kita cari yang di atas sumbu m), maka nilai $m$ yang memenuhi adalah $m < -1$ atau $m > 1/3$.

Sekarang kita gabungkan kedua syarat:
Syarat 1: $m > 0$
Syarat 2: $m < -1$ atau $m > 1/3$

Irisan dari kedua syarat ini adalah $m > 1/3$.

Oleh karena itu, agar pernyataan tersebut selalu benar untuk setiap x, nilai m adalah $m > 1/3$.