Alas prisma ABCD.EFGH berbentuk layang-layang. Keliling

Volume = 5376 cm^3, Luas Permukaan = 2208 cm^2

Pembahasan

Diketahui prisma dengan alas berbentuk layang-layang ABCD dan tinggi prisma 8 cm.
Keliling alas layang-layang ABCD = 108 cm.
Sisi AB = 20 cm.
Diagonal BD = 32 cm.

Karena alasnya layang-layang, maka keempat sisinya sama panjang jika itu adalah belah ketupat. Namun, informasi yang diberikan adalah keliling ABCD = 108 cm dan AB = 20 cm. Ini berarti layang-layang tersebut tidak harus belah ketupat. Sisi-sisi yang berdekatan pada layang-layang memiliki panjang yang sama, jadi ada dua pasang sisi yang sama panjang. Misalkan AB = AD = 20 cm dan BC = CD.

Keliling = AB + BC + CD + AD
108 = 20 + BC + CD + 20
108 = 40 + 2 * BC (karena BC = CD)
68 = 2 * BC
BC = 34 cm.
Jadi, sisi-sisi layang-layang adalah 20 cm, 20 cm, 34 cm, 34 cm.

Luas layang-layang (alas prisma) dapat dihitung dengan rumus:
Luas = (1/2) * d1 * d2, di mana d1 dan d2 adalah panjang diagonal.
Kita tahu salah satu diagonal (BD) = 32 cm. Kita perlu mencari diagonal AC.
Dalam layang-layang, diagonal-diagonalnya tegak lurus, dan salah satu diagonal membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Diagonal yang membagi sama panjang adalah diagonal yang menghubungkan sudut di mana kedua sisi sama panjang bertemu. Dalam kasus ini, diagonal AC membagi BD menjadi dua sama panjang, sehingga AO = OD = 32 / 2 = 16 cm, di mana O adalah titik potong diagonal.
Namun, ini tidak benar. Diagonal yang tegak lurus dan salah satu membagi yang lain sama panjang adalah diagonal yang lebih panjang membagi diagonal yang lebih pendek. Dalam layang-layang dengan sisi 20, 20, 34, 34, diagonal BD (32 cm) menghubungkan dua sudut di mana sisi-sisi sama panjang bertemu. Diagonal AC akan tegak lurus terhadap BD dan membagi BD menjadi dua sama panjang.
Jadi, pada titik potong O, BO = OD = 32 / 2 = 16 cm.
Perhatikan segitiga ABO. Ini adalah segitiga siku-siku di O.
AB^2 = AO^2 + BO^2
20^2 = AO^2 + 16^2
400 = AO^2 + 256
AO^2 = 400 - 256 = 144
AO = 12 cm.

Perhatikan segitiga CBO. Ini adalah segitiga siku-siku di O.
BC^2 = CO^2 + BO^2
34^2 = CO^2 + 16^2
1156 = CO^2 + 256
CO^2 = 1156 - 256 = 900
CO = 30 cm.

Panjang diagonal AC = AO + CO = 12 + 30 = 42 cm.

Luas alas layang-layang = (1/2) * BD * AC = (1/2) * 32 cm * 42 cm = 16 * 42 = 672 cm^2.

Volume prisma = Luas alas * tinggi prisma
Volume = 672 cm^2 * 8 cm = 5376 cm^3.

Luas permukaan prisma = 2 * Luas alas + Keliling alas * tinggi prisma
Luas permukaan = 2 * 672 cm^2 + 108 cm * 8 cm
Luas permukaan = 1344 cm^2 + 864 cm^2 = 2208 cm^2.

Jadi, volume prisma adalah 5376 cm^3 dan luas permukaannya adalah 2208 cm^2.