Amos dan Daud melempar sebuah koin secara bergantian. Koin

a. Peluang Amos menang: 0.65625. b. Rasio Amos menang terhadap kekalahan (Daud menang): 2.1.

Pembahasan

Ini adalah soal peluang binomial.
Misalkan P(G) adalah peluang muncul G (menang), dan P(A) adalah peluang muncul A (kalah).
Karena koin dilempar, P(G) = 0,5 dan P(A) = 0,5.

a. Peluang Amos menang:
Amos bisa menang pada lemparan ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, atau ke-5.
- Menang di lemparan ke-1: G (P = 0,5)
- Menang di lemparan ke-2: AG (P = 0,5 * 0,5 = 0,25)
- Menang di lemparan ke-3: AAG (P = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125)
- Menang di lemparan ke-4: AAAG (P = 0,5^4 = 0,0625)
- Menang di lemparan ke-5: AAAAG (P = 0,5^5 = 0,03125)

Jika Amos melempar pertama, dia menang jika dia melempar G pada giliran pertamanya, atau jika dia dan Daud sama-sama melempar A dua kali berturut-turut dan kemudian Amos melempar G.
Ini adalah deret geometri tak hingga, tetapi dibatasi hingga 5 lemparan.

Peluang Amos menang = P(G) + P(AGG) + P(AAGGG) + P(AAAGGG) + P(AAAAGGG)
Ini perlu dihitung dengan hati-hati karena merupakan giliran bergantian.

Mari kita hitung peluang Amos menang dalam 5 lemparan:
Amos menang pada lemparan ke-1: G (0.5)
Amos menang pada lemparan ke-3: AAG (0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125)
Amos menang pada lemparan ke-5: AAAAG (0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.03125)

Peluang Amos menang = 0.5 + 0.125 + 0.03125 = 0.65625

b. Rasio terhadap kekalahan Amos:
Jika Amos menang, Daud kalah. Jika Amos tidak menang dalam 5 lemparan, maka Daud menang (atau tidak ada yang menang jika kita menganggap seri, tetapi di sini menang adalah muncul G).

Peluang Amos kalah = 1 - Peluang Amos menang = 1 - 0.65625 = 0.34375

Rasio terhadap kekalahan Amos = Peluang Amos menang / Peluang Amos kalah
Rasio = 0.65625 / 0.34375 = 1.91176... atau sekitar 1.91

Jika pertanyaannya adalah rasio peluang Amos menang terhadap peluang Daud menang (Daud kalah), maka:
Peluang Daud menang (Daud menang jika Amos kalah di 5 lemparan pertama):
Peluang Daud menang = P(A) * P(G) [giliran Daud ke-1, yaitu lemparan ke-2] + P(AAA) * P(G) [giliran Daud ke-2, yaitu lemparan ke-4]

Peluang Daud menang pada lemparan ke-2: AG (0.5 * 0.5 = 0.25)
Peluang Daud menang pada lemparan ke-4: AAAG (0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.0625)

Peluang Daud menang = 0.25 + 0.0625 = 0.3125

Periksa: Peluang Amos menang + Peluang Daud menang = 0.65625 + 0.3125 = 0.96875. Ada selisih karena batasan 5 lemparan. Jika lemparan ke-5 adalah A, maka tidak ada yang menang. Peluang AAA AA = 0.5^5 = 0.03125. Total = 0.96875 + 0.03125 = 1.

Jadi,?
a. Peluang Amos menang = 0.65625
b. Rasio terhadap kekalahan Amos (yang berarti rasio Amos menang terhadap Daud menang): 0.65625 / 0.3125 = 2.1

Mari kita klarifikasi pertanyaan b. 'berapa rasio terhadap kekalahan Amos apabila ia melempar pertama.' Ini bisa diartikan sebagai rasio peluang Amos menang : peluang Amos kalah (yaitu Daud menang).