Anda diminta menghitung sigma n=1 1000 (1/(n(n+1)))

1000/1001

Pembahasan

Kita diminta untuk menghitung sigma \(\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n(n+1)}\).
Ini adalah deret teleskopik. Kita dapat menggunakan dekomposisi pecahan parsial untuk suku \(\frac{1}{n(n+1)}\).

Langkah 1: Dekomposisi Pecahan Parsial.
Kita ingin mencari A dan B sehingga:
\(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}\)
Kalikan kedua sisi dengan \(n(n+1)\):
\(1 = A(n+1) + Bn\)

Substitusikan \(n=0\):
\(1 = A(0+1) + B(0) \Rightarrow 1 = A\)

Substitusikan \(n=-1\):
\(1 = A(-1+1) + B(-1) \Rightarrow 1 = -B \Rightarrow B = -1\)

Jadi, \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\).

Langkah 2: Tulis ulang sigma dengan bentuk dekomposisi.
\(\sum_{n=1}^{1000} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)\)

Langkah 3: Ekspansi deret.
Untuk n=1: \(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\)
Untuk n=2: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)
Untuk n=3: \(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\)
...
Untuk n=1000: \(\frac{1}{1000} - \frac{1}{1001}\)

Langkah 4: Jumlahkan suku-suku tersebut.
\(\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ... + \left( \frac{1}{1000} - \frac{1}{1001} \right)\)
Perhatikan bahwa suku-suku di tengah saling menghilangkan (teleskopik).
\(1 - \frac{1}{1001}\)

Langkah 5: Hitung hasil akhir.
\(1 - \frac{1}{1001} = \frac{1001}{1001} - \frac{1}{1001} = \frac{1000}{1001}\)

Jadi, nilai dari sigma \(\sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n(n+1)}\) adalah \(\frac{1000}{1001}\).