Fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x)=(x^3 -1)^2 dalam

Nilai minimum yang didekati adalah 0 (saat x mendekati 1), dan nilai maksimum yang didekati adalah 4 (saat x mendekati -1).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi f(x) = (x^3 - 1)^2 dalam interval -1 < x < 1, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan mengevaluasinya pada titik kritis di dalam interval atau pada batas interval.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
 f(x) = (x^3 - 1)^2
 Menggunakan aturan rantai, f'(x) = 2(x^3 - 1) * (3x^2)
 f'(x) = 6x^2(x^3 - 1)

Langkah 2: Cari titik kritis dengan menyetel f'(x) = 0.
 6x^2(x^3 - 1) = 0
 Ini memberikan x^2 = 0 atau x^3 - 1 = 0.
 Jadi, x = 0 atau x = 1.

Langkah 3: Evaluasi fungsi pada titik kritis di dalam interval (-1, 1) dan pada batas interval.
 Titik kritis di dalam interval adalah x = 0.
 Kita perlu mengevaluasi f(x) pada x = -1 (batas kiri, meskipun tidak termasuk) dan x = 1 (batas kanan, meskipun tidak termasuk) serta x = 0.

f(0) = (0^3 - 1)^2 = (-1)^2 = 1

Untuk batas interval:
 Karena intervalnya adalah -1 < x < 1, kita perlu mempertimbangkan perilaku fungsi saat mendekati -1 dan 1.
 Saat x mendekati 1 dari kiri, x^3 mendekati 1, sehingga x^3 - 1 mendekati 0. Maka, f(x) mendekati 0^2 = 0.
 Saat x mendekati -1 dari kanan, x^3 mendekati -1, sehingga x^3 - 1 mendekati -2. Maka, f(x) mendekati (-2)^2 = 4.

Namun, karena intervalnya terbuka (-1 < x < 1), nilai pada batas tidak tercapai. Kita perlu melihat nilai pada titik kritis di dalam interval.

Nilai f(0) = 1.

Mari kita periksa turunan kedua untuk mengkonfirmasi jenis ekstremum di x=0, meskipun ini tidak diperlukan jika kita hanya mencari nilai min/max pada interval.
 f'(x) = 6x^5 - 6x^2
 f''(x) = 30x^4 - 12x
 f''(0) = 0. Tes turunan kedua tidak meyakinkan di sini.

Mari kita analisis tanda f'(x) = 6x^2(x^3 - 1) di sekitar x=0.
 Untuk x di (-1, 0), x^2 positif, x^3 negatif, x^3 - 1 negatif. Jadi f'(x) = (+) * (-) = (-).
 Untuk x di (0, 1), x^2 positif, x^3 positif (tetapi kurang dari 1), x^3 - 1 negatif. Jadi f'(x) = (+) * (-) = (-).
 Karena f'(x) negatif sebelum dan sesudah x=0, x=0 bukanlah titik ekstremum lokal, tetapi merupakan titik belok horizontal.

Sekarang mari kita periksa perilaku fungsi di seluruh interval (-1, 1).
 f'(x) = 6x^2(x^3 - 1)
 Di interval (-1, 0), x^3 - 1 adalah negatif, sehingga f'(x) negatif. Fungsi menurun.
 Di interval (0, 1), x^3 - 1 adalah negatif, sehingga f'(x) negatif. Fungsi menurun.

Ini berarti fungsi terus menurun di seluruh interval (-1, 1).

Nilai fungsi saat x mendekati batas:
 lim (x->1-) f(x) = (1^3 - 1)^2 = 0
 lim (x->-1+) f(x) = ((-1)^3 - 1)^2 = (-1 - 1)^2 = (-2)^2 = 4

Karena fungsi terus menurun di dalam interval, nilai minimum akan dicapai saat x mendekati 1, yaitu 0. Nilai maksimum akan dicapai saat x mendekati -1, yaitu 4.
Namun, karena intervalnya terbuka, nilai minimum dan maksimum tidak tercapai dalam interval tersebut. Fungsi mendekati nilai-nilai ini.

Dalam konteks soal ujian, seringkali pertanyaan seperti ini mengacu pada nilai yang didekati pada batas interval, atau jika intervalnya tertutup, nilai pada batas tersebut.
Jika kita harus memilih nilai minimum dan maksimum yang 'ditemui' dalam interval, itu adalah nilai yang didekati pada batas.

Nilai minimum yang didekati adalah 0 (saat x mendekati 1).
Nilai maksimum yang didekati adalah 4 (saat x mendekati -1).

Mari kita periksa kembali soalnya.