Apakah pernyataan-pernyataan berikut benar? cos(x-y)/cos x

Ya, pernyataan tersebut benar.

Pembahasan

Untuk memverifikasi apakah identitas trigonometri \(\frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y} = 1 + \tan x \tan y\) benar, kita akan menyederhanakan sisi kiri persamaan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sudut.

Identitas yang relevan adalah:
1. Identitas sudut pengurangan kosinus: \(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
2. Definisi tangen: \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)

Mari kita mulai dengan sisi kiri persamaan:
\(\frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y}\)

Gunakan identitas sudut pengurangan kosinus pada pembilang (numerator):
\(\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y\)

Substitusikan ini kembali ke persamaan:
\(\frac{\cos x \cos y + \sin x \sin y}{\cos x \cos y}\)

Sekarang, kita pisahkan pecahan ini menjadi dua suku:
\(\frac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y} + \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y}\)

Sederhanakan suku pertama:
\(\frac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y} = 1\)

Sederhanakan suku kedua:
\(\frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin x}{\cos x} \times \frac{\sin y}{\cos y}\)

Menggunakan definisi tangen, kita dapat menulisnya sebagai:
\(\tan x \times \tan y\)

Jadi, sisi kiri persamaan disederhanakan menjadi:
\(1 + \tan x \tan y\)

Ini sama persis dengan sisi kanan persamaan.

Oleh karena itu, pernyataan \(\frac{\cos(x-y)}{\cos x \cos y} = 1 + \tan x \tan y\) adalah benar.