Pada kubus ABCD.EFGH yang berusuk 2 cm, titik P terletak

Jarak P ke Q adalah $3\sqrt{5}$ cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm.
Titik P terletak pada perpanjangan DC dengan perbandingan DC : DP = 2 : 7.
Ini berarti panjang DP adalah $\frac{7}{2}$ kali panjang DC.
Panjang DC = 2 cm (karena merupakan rusuk kubus).
Maka, panjang DP = $\frac{7}{2} \times 2 = 7$ cm.
Karena P terletak pada perpanjangan DC, maka posisi P berada di luar segmen DC.

Titik Q terletak pada perpanjangan GF dengan perbandingan GF : FQ = 1 : 1.
Ini berarti panjang FQ sama dengan panjang GF.
Panjang GF = 2 cm (karena merupakan rusuk kubus).
Maka, panjang FQ = 2 cm.
Karena Q terletak pada perpanjangan GF, maka posisi Q berada di luar segmen GF, yaitu segaris dengan GF dan F di antara G dan Q.

Mari kita tentukan koordinat titik-titik dengan menganggap A sebagai titik asal (0,0,0) dan rusuk kubus sejajar dengan sumbu koordinat.
Misalkan:
A = (0,0,0)
B = (2,0,0)
C = (2,2,0)
D = (0,2,0)
E = (0,0,2)
F = (2,0,2)
G = (2,2,2)
H = (0,2,2)

Titik P terletak pada perpanjangan DC. Vektor DC = C - D = (2,2,0) - (0,2,0) = (2,0,0).
Titik P dapat dinyatakan sebagai D + k * Vektor DC, di mana k menentukan posisi perpanjangan.
Dari DC : DP = 2 : 7, maka $\vec{DP} = \frac{7}{2} \vec{DC}$.
Jika kita mengambil D sebagai titik awal:
$P = D + \vec{DP}$
$P = D + \frac{7}{2} \vec{DC}$
$P = (0,2,0) + \frac{7}{2} (2,0,0)$
$P = (0,2,0) + (7,0,0)$
$P = (7,2,0)$

Titik Q terletak pada perpanjangan GF. Vektor GF = F - G = (2,0,2) - (2,2,2) = (0,-2,0).
Dari GF : FQ = 1 : 1, maka $\vec{FQ} = 1 \times \vec{GF}$.
Namun, ini berarti Q berada di luar G, dan F di antaranya. Perpanjangan GF dengan perbandingan 1:1 berarti FQ = GF. Jadi, Q berada di sisi berlawanan dari F terhadap G.
Lebih tepatnya, Q terletak pada perpanjangan GF sehingga F adalah titik tengah segmen GQ.
Jika kita menggunakan G sebagai titik acuan dan F sebagai titik yang berjarak sama dengan G dari F:
$Q = F + \vec{FG}$
$\|FG\| = \|GF\| = 2$.
$\|FQ\| = \|GF\| = 2$.
Karena Q pada perpanjangan GF, maka G-F-Q.
$Q = G + \vec{GQ}$
$\|GQ\| = \|GF\| + \|FQ\| = 2 + 2 = 4$.
Karena Q segaris dengan GF dan F berada di antara G dan Q, maka $\vec{GQ} = 2 \times \vec{GF}$.
$Q = G + 2 \times \vec{GF}$
$Q = (2,2,2) + 2 \times ((2,0,2) - (2,2,2))$
$Q = (2,2,2) + 2 \times (0,-2,0)$
$Q = (2,2,2) + (0,-4,0)$
$Q = (2,-2,2)$

Sekarang kita hitung jarak antara P(7,2,0) dan Q(2,-2,2).
Jarak PQ = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{(2-7)^2 + (-2-2)^2 + (2-0)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + (2)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{25 + 16 + 4}$
Jarak PQ = $\sqrt{45}$
Jarak PQ = $\sqrt{9 \times 5}$
Jarak PQ = $3\sqrt{5}$ cm.

Mari kita tinjau ulang interpretasi perpanjangan GF dengan GF : FQ = 1 : 1.
Ini berarti titik F terletak di antara G dan Q, dan jarak FQ sama dengan jarak GF. Jadi, F adalah titik tengah GQ.
Jika F adalah titik tengah GQ, maka:
$F = \frac{G+Q}{2}$
$2F = G+Q$
$Q = 2F - G$
$Q = 2(2,0,2) - (2,2,2)$
$Q = (4,0,4) - (2,2,2)$
$Q = (2,-2,2)$. Hasilnya sama.

Alternatif penempatan koordinat:
Misalkan D = (0,0,0).
C = (2,0,0)
B = (2,2,0)
A = (0,2,0)
H = (0,0,2)
G = (2,0,2)
F = (2,2,2)
E = (0,2,2)

Titik P pada perpanjangan DC dengan DC : DP = 2 : 7.
$\|DC\| = 2$. $\|DP\| = \frac{7}{2} \|DC\| = 7$.
Karena P pada perpanjangan DC, maka C di antara D dan P. $\vec{DP} = \vec{DC} + \vec{CP}$.
$\|DP\| = \|DC\| + \|CP\|$. $7 = 2 + \|CP\|$, maka $\|CP\| = 5$.
$P = D + \vec{DP}$.
$\|DP\| = \frac{7}{2} \|DC\|$. Jika D adalah titik asal, maka P terletak pada sumbu x positif.
P = (7,0,0).

Titik Q pada perpanjangan GF dengan GF : FQ = 1 : 1.
$\|GF\| = 2$. $\|FQ\| = \|GF\| = 2$.
G = (2,0,2), F = (2,2,2). Vektor GF = F - G = (0,2,0).
Karena perpanjangan GF, maka F di antara G dan Q. $\vec{GQ} = \vec{GF} + \vec{FQ}$.
$\|GQ\| = \|GF\| + \|FQ\| = 2 + 2 = 4$.
$\|FQ\| = \|GF\|$, maka F adalah titik tengah GQ.
$F = \frac{G+Q}{2}$
$Q = 2F - G$
$Q = 2(2,2,2) - (2,0,2)$
$Q = (4,4,4) - (2,0,2)$
$Q = (2,4,2)$.

Jarak P(7,0,0) ke Q(2,4,2).
Jarak PQ = $\sqrt{(2-7)^2 + (4-0)^2 + (2-0)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{(-5)^2 + 4^2 + 2^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{25 + 16 + 4}$
Jarak PQ = $\sqrt{45}$
Jarak PQ = $3\sqrt{5}$.

Interpretasi ketiga: Titik P terletak pada perpanjangan garis DC di luar segmen DC, sehingga urutannya D-C-P.
DC : DP = 2 : 7. Ini berarti $\frac{DC}{DP} = \frac{2}{7}$.
$\|DC\| = 2$. Maka $\|DP\| = \frac{7}{2} \|DC\| = \frac{7}{2} \times 2 = 7$.
Jika D=(0,2,0) dan C=(2,2,0), maka P berada di luar C.
$\|CP\| = \|DP\| - \|DC\| = 7 - 2 = 5$.
P = C + 5 satuan searah vektor DC.
Vektor DC = C-D = (2,2,0)-(0,2,0) = (2,0,0).
$P = (2,2,0) + 5 \times \frac{(2,0,0)}{2} = (2,2,0) + (5,0,0) = (7,2,0)$. Ini konsisten.

Titik Q terletak pada perpanjangan garis GF di luar segmen GF, sehingga urutannya G-F-Q.
GF : FQ = 1 : 1. Ini berarti $\frac{GF}{FQ} = \frac{1}{1}$.
$\|GF\| = 2$. Maka $\|FQ\| = 2$.
Jika G=(2,2,2) dan F=(2,0,2), maka Q berada di luar F.
Vektor GF = F-G = (2,0,2)-(2,2,2) = (0,-2,0).
Perpanjangan GF berarti Q berada di arah yang sama dengan vektor GF, tetapi dimulai dari F.
$Q = F + \vec{FQ}$. Arah $\vec{FQ}$ sama dengan arah $\vec{GF}$.
$\|FQ\| = 2$. Vektor satuan arah GF = $\frac{\vec{GF}}{\|GF\|} = \frac{(0,-2,0)}{2} = (0,-1,0)$.
$\|FQ\| = 2$, jadi $\vec{FQ} = 2 \times (0,-1,0) = (0,-2,0)$.
$Q = F + \vec{FQ} = (2,0,2) + (0,-2,0) = (2,-2,2)$.

Jarak P(7,2,0) ke Q(2,-2,2).
Jarak PQ = $\sqrt{(2-7)^2 + (-2-2)^2 + (2-0)^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 2^2}$
Jarak PQ = $\sqrt{25 + 16 + 4}$
Jarak PQ = $\sqrt{45}$
Jarak PQ = $3\sqrt{5}$ cm.