Balok KLMN PQRS mempunyai panjang KL=4 cm, LM=3 cm, dan

$2 \\sqrt{5}$ cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik R terhadap diagonal PM pada balok KLMN.PQRS, kita perlu menentukan koordinat titik-titik balok terlebih dahulu. Asumsikan titik K berada di titik asal (0,0,0).

Diketahui:
Panjang KL = 4 cm (sumbu x)
Panjang LM = 3 cm (sumbu y)
Panjang KP = 10 cm (sumbu z)

Maka koordinat titik-titik balok adalah:
K = (0, 0, 0)
L = (4, 0, 0)
M = (4, 3, 0)
N = (0, 3, 0)

P = (0, 0, 10)
Q = (4, 0, 10)
R = (4, 3, 10)
S = (0, 3, 10)

Diagonal PM menghubungkan titik P(0, 0, 10) dan M(4, 3, 0).

Persamaan garis PM dapat dinyatakan dalam bentuk vektor:

$\\vec{P} = (0, 0, 10)$
$\\vec{M} = (4, 3, 0)$

$\\vec{PM} = \\vec{M} - \\vec{P} = (4, 3, -10)$

Garis PM: $\\vec{r}(t) = \\vec{P} + t \\vec{PM} = (0, 0, 10) + t(4, 3, -10) = (4t, 3t, 10 - 10t)$

Kita ingin mencari jarak dari titik R(4, 3, 10) ke garis PM.
Misalkan titik pada garis PM yang terdekat dengan R adalah T. Maka vektor RT tegak lurus terhadap vektor arah PM.

$\\vec{R} = (4, 3, 10)$
$\\vec{T} = (4t, 3t, 10 - 10t)$

$\\vec{RT} = \\vec{T} - \\vec{R} = (4t - 4, 3t - 3, 10 - 10t - 10) = (4t - 4, 3t - 3, -10t)$

Syarat tegak lurus: $\\vec{RT} \\cdot \\vec{PM} = 0$
$(4t - 4)(4) + (3t - 3)(3) + (-10t)(-10) = 0$
$16t - 16 + 9t - 9 + 100t = 0$
$125t - 25 = 0$
$125t = 25$
$t = 25/125 = 1/5$

Sekarang kita cari koordinat titik T:
$\\vec{T} = (4(1/5), 3(1/5), 10 - 10(1/5)) = (4/5, 3/5, 10 - 2) = (4/5, 3/5, 8)$

Terakhir, kita hitung jarak antara R dan T:
Jarak RT = ||$\\vec{RT}$||
$\\vec{RT} = (4(1/5) - 4, 3(1/5) - 3, -10(1/5)) = (4/5 - 20/5, 3/5 - 15/5, -2)$
$\\vec{RT} = (-16/5, -12/5, -2)$

Jarak RT = $\\sqrt{(-16/5)^2 + (-12/5)^2 + (-2)^2}$
Jarak RT = $\\sqrt{256/25 + 144/25 + 4}$
Jarak RT = $\\sqrt{400/25 + 100/25}$
Jarak RT = $\\sqrt{500/25}$
Jarak RT = $\\sqrt{20}$
Jarak RT = $2 \\sqrt{5}$ cm

Jadi, jarak titik R terhadap diagonal PM adalah $2 \\sqrt{5}$ cm.