Nilai limit x mendekatii tak hingga (1-cos 6/x)/(1-cos^2

1/2

Pembahasan

Kita perlu mengevaluasi limit berikut:
lim (1 - cos(6/x)) / (1 - cos^2(6/x)) saat x mendekati tak hingga.

Kita tahu bahwa 1 - cos^2(theta) = sin^2(theta). Jadi, penyebutnya adalah sin^2(6/x).

Limit menjadi: lim (1 - cos(6/x)) / sin^2(6/x) saat x mendekati tak hingga.

Kita juga tahu identitas trigonometri: 1 - cos(2a) = 2 sin^2(a). Jika kita biarkan theta = 6/x, maka 1 - cos(theta) = 2 sin^2(theta/2).

Jadi, pembilangnya adalah 2 sin^2(3/x).

Limit menjadi: lim [2 sin^2(3/x)] / [sin^2(6/x)] saat x mendekati tak hingga.

Kita bisa menggunakan limit dasar lim (sin ax)/ax = 1 saat x mendekati 0 (dan karena x mendekati tak hingga, 6/x mendekati 0).

Limit = lim [2 * (sin(3/x))^2] / [(sin(6/x))^2]

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:

= lim [2 * ( (sin(3/x)) / (3/x) * (3/x) )^2 ] / [ ( (sin(6/x)) / (6/x) * (6/x) )^2 ]

Karena x mendekati tak hingga, 3/x mendekati 0 dan 6/x mendekati 0. Maka, lim (sin a/a) = 1.

= lim [2 * (1 * (3/x))^2] / [(1 * (6/x))^2]
= lim [2 * (3/x)^2] / [(6/x)^2]
= lim [2 * (9/x^2)] / [36/x^2]
= lim (18/x^2) / (36/x^2)

Kita bisa membatalkan x^2:
= 18 / 36
= 1/2

Jadi, nilai limitnya adalah 1/2.