Balok OABC.DEFG dengan |OA|=4, |AB|=6, |OG|=10. Kosinus

(5√13)/13

Pembahasan

Diketahui balok OABC.DEFG dengan |OA|=4, |AB|=6, |OG|=10.
Kita dapat menetapkan vektor-vektor basis:
OA = vektor a
OC = vektor c
OD = vektor d

Dari informasi yang diberikan:
|OA| = 4, jadi vektor OA = 4i (jika kita asumsikan OA searah sumbu x)
|AB| = 6, dan karena OABC adalah balok, maka AB sejajar OC dan |AB| = |OC| = 6. Vektor AB = 6j (jika kita asumsikan AB searah sumbu y)
|OG| = 10, dan karena OABC.DEFG adalah balok, maka OG = OA + OC + OD. Namun, dari penamaan balok, lebih umum jika:
OA = vektor a, OC = vektor b, OD = vektor c
Sehingga vektor posisi titik C adalah OC = OB + BC = OA + AB = 4i + 6j. Vektor AC = OC - OA = (4i + 6j) - 4i = 6j.

Atau jika penamaannya OABC sebagai alas dengan OA searah sumbu x dan OC searah sumbu y, maka:
OA = 4i
OC = 6j
AB = OC = 6j

Dan vektor OG = OA + AB + BG = OA + OC + CG
Misalkan OG searah sumbu z, maka OG = 10k.

Sehingga:
Vektor OA = 4i
Vektor AC = OC - OA. Jika OABC adalah sisi, maka AC adalah diagonal sisi. OA sejajar BC, AB sejajar OC.
Vektor OA = 4i
Vektor AB = 6j
Vektor OC = 6j

Jika kita menganggap penamaan sisi balok adalah OA, AB, BG (tegak lurus OA dan AB), maka:
Vektor OA = 4i
Vektor AB = 6j
Vektor BG = 10k

Maka vektor AC = AB + BC = AB + OA = 6j + 4i.

Kita perlu mencari kosinus sudut antara vektor OA dengan vektor AC.
Vektor OA = 4i
Vektor AC = 4i + 6j

Rumus kosinus sudut antara dua vektor u dan v adalah:
cos(θ) = (u ⋅ v) / (|u| |v|)

Di sini, u = OA = 4i dan v = AC = 4i + 6j.

u ⋅ v = (4i) ⋅ (4i + 6j) = (4 * 4) + (4 * 6) = 16 + 24 = 40
|u| = |OA| = 4
|v| = |AC| = sqrt(4^2 + 6^2) = sqrt(16 + 36) = sqrt(52) = sqrt(4 * 13) = 2 * sqrt(13)

cos(θ) = 40 / (4 * 2 * sqrt(13))
cos(θ) = 40 / (8 * sqrt(13))
cos(θ) = 5 / sqrt(13)

Untuk merasionalkan penyebut:
cos(θ) = (5 * sqrt(13)) / (sqrt(13) * sqrt(13))
cos(θ) = (5 * sqrt(13)) / 13

Kosinus sudut antara vektor OA dengan vektor AC adalah (5√13)/13.